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浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.4.1 二次函数与一元二次方程①（原卷版）
知识点1 二次函数与y轴的交点
求抛物线与y轴的交点：令__________，代入解析式求出y的值，交点坐标为__________。其中__________就是二次函数一般式y=ax +bx+c中的__________。
知识点2 判别式Δ与交点个数
二次函数y=ax +bx+c与x轴的交点个数，由________________决定：__________时有__________个交点；__________时有__________个交点（顶点在x轴上）；__________时__________交点。
知识点3 已知交点个数求参数
若图象与x轴只有一个交点，则__________，列方程求参数；若与x轴有两个交点，则__________，列不等式求参数范围。注意__________的限制。
知识点4 利用对称性求另一交点
已知抛物线与x轴的一个交点和对称轴，可利用__________求另一个交点：两交点关于__________对称，即________________。
知识点5 用图象求方程的根
二次函数图象与x轴交点的__________，就是对应一元二次方程__________的__________。给出图象和部分信息，可以__________并__________。
考点1 与y轴的交点
【解题思路】抛物线与y轴的交点：令x=0代入y=ax +bx+c，得y=c，交点坐标为(0,c)。
例1．抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1．抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2．抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点2 判别式与交点个数
【解题思路】判别式Δ=b -4ac>0→两个交点，Δ=0→一个交点，Δ<0→无交点。先化为一般式求a,b,c，再算Δ。
例2．二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
变式1．二次函数的图象与x轴的交点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式2．二次函数的图像与x轴的交点个数为______个．
考点3 已知交点个数求参数
【解题思路】只有一个交点→Δ=0列方程；两个交点→Δ>0列不等式；无交点→Δ<0。注意二次项系数a≠0。
例3．已知抛物线与x轴有且只有一个交点，则__________．
变式1．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴只有1个交点，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
考点4 对称性求另一交点
【解题思路】已知交点A(x ,0)和对称轴x=h，则另一交点横坐标为x =2h-x 。利用中点公式。
例4．如图，抛物线与x轴交于点和，则方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．如图，已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是，则方程的两根是_________．
变式2．如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______．
考点5 图象法求方程的根
【解题思路】图象与x轴交点的横坐标就是ax +bx+c=0的根。从图象读交点坐标→写出方程的解。
例5．二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
变式1．若抛物线的图象如图所示，则方程的解是______．
变式2．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是______．
一、选择题
1．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）抛物线与轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线与坐标轴的交点个数为（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
4．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数与y轴的交点坐标为_________．
5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）抛物线与x轴的交点个数为______ 个．
6．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为___________．
三、解答题
7．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标．
8．（22-23九年级上·浙江台州·阶段检测）已知二次函数．
(1)该函数与x轴的交点坐标 ；
(2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；
x … 0 1 2 3 4 …
y … …
(3)根据图象写出该二次函数的两条性质．
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浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.4.1 二次函数与一元二次方程①（解析版）
知识点1 二次函数与y轴的交点
求抛物线与y轴的交点：令x=0，代入解析式求出y的值，交点坐标为(0,c)。其中c就是二次函数一般式y=ax +bx+c中的常数项。
知识点2 判别式Δ与交点个数
二次函数y=ax +bx+c与x轴的交点个数，由判别式Δ=b -4ac决定：Δ>0时有两个交点；Δ=0时有一个交点（顶点在x轴上）；Δ<0时没有交点。
知识点3 已知交点个数求参数
若图象与x轴只有一个交点，则Δ=0，列方程求参数；若与x轴有两个交点，则Δ>0，列不等式求参数范围。注意二次项系数a≠0的限制。
知识点4 利用对称性求另一交点
已知抛物线与x轴的一个交点和对称轴，可利用对称性求另一个交点：两交点关于对称轴对称，即对称轴是两交点横坐标的中点。
知识点5 用图象求方程的根
二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程ax +bx+c=0的根。给出图象和部分信息，可以写出方程并求出解。
考点1 与y轴的交点
【解题思路】抛物线与y轴的交点：令x=0代入y=ax +bx+c，得y=c，交点坐标为(0,c)。
例1．抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，令，即可求得该抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：在中，令，得，
∴该抛物线与y轴的交点坐标为．
故选：D．
变式1．抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，根据求抛物线与y轴的交点，只需令，代入解析式计算y的值，即可解答．
【详解】解：∵ y 轴上的点横坐标为0，
∴令，代入，
得，
∴抛物线与 y 轴交点坐标为．
故选：D．
变式2．抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与y轴的交点的问题．求抛物线与y轴的交点，令代入方程求y值，即可作答．
【详解】解：∵抛物线与y轴相交时，
∴把代入，得，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故选：B．
考点2 判别式与交点个数
【解题思路】判别式Δ=b -4ac>0→两个交点，Δ=0→一个交点，Δ<0→无交点。先化为一般式求a,b,c，再算Δ。
例2．二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与轴的交点个数的判断，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断图象与轴的交点个数．
【详解】解：二次函数的图象与轴的交点即方程的根，
计算判别式，
，
无实数根，
二次函数的图象与轴没有交点，
故选：A．
变式1．二次函数的图象与x轴的交点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解与x轴交点个数即方程实数解的个数是解题的关键．
根据方程解的情况确定即可．
【详解】解：令，
则，
，
方程有2个不相等的实数根，
所以二次函数的图象与x轴的交点有2个．
故选：C．
变式2．二次函数的图像与x轴的交点个数为______个．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式等知识点，理解一元二次方程的解是对应二次函数与x交点的横坐标是解题的关键．
通过计算二次函数对应方程的判别式，即可判断与x轴的交点个数．
【详解】解：∵二次函数的图像与x轴的交点个数，等同于方程的实数根个数，，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴二次函数的图像与x轴有2个交点．
故答案为：2．
考点3 已知交点个数求参数
【解题思路】只有一个交点→Δ=0列方程；两个交点→Δ>0列不等式；无交点→Δ<0。注意二次项系数a≠0。
例3．已知抛物线与x轴有且只有一个交点，则__________．
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数与x轴交点个数的判别方法，解题的关键是掌握“抛物线与x轴有且只有一个交点时，对应的一元二次方程根的判别式”这一核心结论．
先确定抛物线对应的二次函数一般式中、、的值；再根据“抛物线与x轴有且只有一个交点”得出判别式；最后将、、的值代入判别式公式，解方程求出的值．
【详解】解：对于抛物线，其对应的二次函数一般式中，，，
∵抛物线与x轴有且只有一个交点，
∴对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式．
由判别式公式，代入，，得：
，
即，
解得．
故答案为：．
变式1．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴只有1个交点，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】二次函数图象与x轴只有一个交点时，对应的一元二次方程根的判别式等于0，利用判别式列方程求解即可得到m的值．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有1个交点，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，根的判别式，
将，，代入得：，
化简得，解得．
变式2．二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数与x轴有两个不同的交点，
∴，
∴，
故选：B．
考点4 对称性求另一交点
【解题思路】已知交点A(x ,0)和对称轴x=h，则另一交点横坐标为x =2h-x 。利用中点公式。
例4．如图，抛物线与x轴交于点和，则方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线与x轴交点的意义是解决本题的关键．
根据抛物线与x轴交点的意义得到当或时，，即可得到方程的解．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和，
∴当或时，，即方程的根为．
故选B．
变式1．如图，已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是，则方程的两根是_________．
【答案】，
【分析】本题考查了函数与方程的联系、二次函数的轴对称性，解题的关键是掌握函数与方程即“函数与轴的交点横坐标就是时的方程的解”．
利用“方程的解即为对应函数与轴的交点横坐标”和二次函数的对称性求解两根．
【详解】解：抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，的两个根为或．
故答案为：，．
变式2．如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______．
【答案】，
【分析】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根．
【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴，
∵与x轴的一个交点横坐标是，
∴设与x轴的另外一个交点横坐标是，
∴对称轴，
解得：，
∴方程的解是：，，
故答案为：，．
考点5 图象法求方程的根
【解题思路】图象与x轴交点的横坐标就是ax +bx+c=0的根。从图象读交点坐标→写出方程的解。
例5．二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键．
【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点，，
关于x的方程的解为，，
故选：D．
变式1．若抛物线的图象如图所示，则方程的解是______．
【答案】，
【分析】本题主要考查二次函数的图象与一元二次方程，如果二次函数的图象与 轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程的实根．
【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为，，
即或时，，
方程的解是，．
故答案为：，．
变式2．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是______．
【答案】，
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系．先将二次函数解析式化为顶点式，然后求出函数图象的对称轴，即可得到该函数图象与x轴的另一个交点的横坐标，从而可以得到一元二次方程的解．
【详解】解：二次函数，
该函数的对称轴为直线，
二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，
二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为，
关于x的一元二次方程的解是，，
故答案为：，．
一、选择题
1．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴上的点横坐标为，代入抛物线解析式计算值即可得到交点坐标．
【详解】解：∵轴上所有点的横坐标都为，
∴在抛物线中，令，
得，
∴抛物线与轴的交点坐标是．
2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）抛物线与轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题．通过计算一元二次方程的判别式，判断抛物线与x轴的交点个数，即可作答．
【详解】解：依题意，抛物线与x轴的交点的横坐标即方程的实数根，
则，
∴方程有两个不相等的实数根，
故抛物线与x轴有2个交点，
故选：C．
3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线与坐标轴的交点个数为（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【分析】考查知识点为二次函数与坐标轴的交点问题、一元二次方程判别式的应用．解题思想与方法：利用“函数与坐标轴的交点，即分别令、”的方法，结合一元二次方程判别式判断与x轴的交点情况，体现了代数与几何结合的思想．解题关键：准确计算判别式的值，以判断抛物线与x轴的交点个数；同时牢记与y轴交点的求法．易错点：容易忽略与y轴的交点，或在计算判别式时出错，导致交点个数判断错误．
首先求与y轴的交点：令，代入抛物线解析式计算y的值，得到与y轴的交点．接着求与x轴的交点：令，得到一元二次方程，通过计算判别式的值，判断方程的解的个数，即可．
【详解】与y轴交点：令，得，即，1个交点．
与x轴交点：令，方程的判别式，无交点．
所以交点个数为．
故选：C．
二、填空题
4．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数与y轴的交点坐标为_________．
【答案】
【分析】本题考查了求抛物线与y轴的交点坐标，解题关键是掌握求抛物线与y轴的交点坐标的方法．
求二次函数与y轴的交点坐标，需令，代入函数解析式计算y值．
【详解】解：∵y轴上点的横坐标为0，
∴将代入，
得，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故答案为：．
5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）抛物线与x轴的交点个数为______ 个．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．
计算判别式，根据的值判断交点个数．
【详解】解：由二次函数得，，，，
则，
所以抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2．
6．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为___________．
【答案】
【分析】本题考查了求抛物线与x轴的交点坐标
通过求解一元二次方程得到抛物线与x轴的交点坐标，再计算两点之间的距离．
【详解】解：令，得方程，
因式分解得，
解得，，
即抛物线与x轴的交点为和，
∴弦长为：．
故答案为：．
三、解答题
7．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标．
【答案】，，
【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，，求出对应的x、y的值，即可得出结果．
【详解】解：当时，，
解得，，
∴二次函数图象与x轴交于，，
当时，，
∴二次函数图象与y轴交于，
∴二次函数图象与坐标轴交点的坐标，，．
8．（22-23九年级上·浙江台州·阶段检测）已知二次函数．
(1)该函数与x轴的交点坐标 ；
(2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；
x … 0 1 2 3 4 …
y … …
(3)根据图象写出该二次函数的两条性质．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大（答案不唯一）
【分析】（1）令，进行求解即可；
（2）求出对应函数值，列表，描点，连线，画出函数图象即可；
（3）根据函数图象写出函数的两条性质即可．
【详解】（1）解：令，
解得或，
∴该函数与x轴的交点坐标为，；
（2）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
填表如下：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 0 3 …
作图如下：
（3）解：由图可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大．（答案不唯一）
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