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6. 在△ABC中,D是边AB上一点,且BD=2AD,点E是CD的中点.设 则
英吉沙县2025-2026学年第二学期期末质量检测 ( )
高一数学 试题卷
考试时间：120 分钟，考试满分：150 分
7．已知△ ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若c = 2b cosA ，则△ ABC 的形状为 (
注意事项： )
1.本试卷共 150 分，测试用时 120 分钟。
A．锐角三角形 B．直角三角形
2.本试卷为问答分离式试卷，所有答案一律写在答题卡上，在问卷和其他纸张作答无效。
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
一、单选题（ 本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分 ） 8．如图，在棱长为2的正方体 ABCD -A1B1C1D1中，过 A1B且与 AC1平行的平面交 B1C1于点 P，则
1．下列说法正确的是 ( ) PC1= ( )
A.在正方形ABCD中,
B.已知向量 则A，B，C，D四点必在同一条直线上
C．零向量可以与任一向量共线
D．零向量可以与任一向量垂直
2．若(1+ 2i)z = 5 ，则z . z = ( )
A．3 B．4 C．5 D．6 A．2 B．
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） C． D．1
二、多选题（ 本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分 ）
→
9．已知a = (—3, 4),b→= (1, 2) ，则下列结论正确的是 ( )
A． = 5 B.
C. D.
10．已知复数z=m —2+(m —1)i(m∈R)，z在复平面内对应的点记为 M，则下列结论正确的是( )
A．若 z为纯虚数，则m = 2 B．若z + z = 0 ，则m = 1
C．若点 M在第一象限，则m > 1 D．若 为 z的共轭复数且z = ，则m = 2
11．如图，在棱长都相等的三棱柱ABC— A1B1C1 中，AA1 丄底面ABC ，E ，D分别是棱AB ，
CC1 的中点，则下列叙述错误的是 ( )A．2 B． C．4 D．
4．设α 为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是 ( )
A．若a 丄 α , a / /b ，则b 丄 α
B．若a / /α , b / /α , 则a / /b
C．若a / /α , a 丄 b，则b 丄 α
考 号
D．若a 丄 α , a 丄 b ，则b/ /α
5．10，12，16，18，20，22，26，28的第80% 分位数是 ( )
A．22 B．24 C．25 D．26 A. AC 与A1D 是异面直线 B．△A1DE 是等边三角形
C．BC// 平面A1DE D．A1B1 丄 DE
高一数学试卷 第 1 页 共4页 高一数学试卷 第 2 页 共4页
三、填空题（ 本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分 ） 17．（16分）已知四棱锥P— ABCD的底面为直角梯形，AB / /DC ，∠DAB = 90o ，PA 丄平面ABCD ，
密
12.在 中，AB=3,AC=2,点D在边BC上.若 则 的值 且PA = AD = DC AB = 1 ，M 是棱PB 上的动点.
为 . 封
（1）求证：平面PAD 丄平面PCD； 线
13.边长为4的正三角形ABC ，M为边AC的中点，若P在边AB上运动(点P可与A，B重合)，则 的 内
（2）若PD// 平面ACM ，求 的值.
最小值为 . 不
得
14.一支探险队有男生24人，女生18人，按照性别采用分层随机抽样的方法从该探险队中抽取一个容量为 答
7的样本，则女生被抽取的人数为 .
题
四、解答题（ 本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）
15．（16分）在△ ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知3asinC= 4ccosA ，a .
18．（16分）如图，正方形ABCD的边长为a ，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的
三等分点，AF 与DE 交于点M ，求∠EMF 的余弦值．
（1）求sinA ；
（2）如图，点 M为边AC 上一点，MC =MB ，∠ABM ，求△ ABC 的面积．
16．（15分）中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了
了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都
在[15, 65] 内），按照[15,25) ，[25,35) ，[35,45) ，[45,55) ，[55,65]进行分组，得到如图所示
的频率分布直方图．
19．（14分）复数z 且z = 4 ，z 对应的点在第一象限内，若复数0, z, 对应的点
是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．
（1）求m 的值；
（2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在[35,65] 内的人数；
（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．
高一数学试卷 第 3 页 共4页 高一数学试卷 第 4 页 共4页高一数学期末参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A D C C D ACD AB
题号 11
答案 ABC
1．C
【分析】根据向量相等和向量共线的条件逐个分析即可.
【详解】对于 A: 与 模长相等,方向不同,故 不成立.
对于 B:向量共线指的是其方向相同或相反,不一定在同一条直线上,例如平行四边形
中 ,但 四点不共线;
对于 C、D:零向量与任意向量共线,但不能说零向量与任意向量垂直.向量垂直指的是两个非
零向量成 °.
综上,应选 C.
故答案为:C.
2．C
【分析】根据复数除法、乘法、共轭复数等知识求得正确答案.
【详解】 ，
所以 ，所以 .
故选：C
3．D
【分析】先找到几何体原图，再利用几何体的体积公式求解.
【详解】解：由三视图可知几何体是四棱锥 ，底面是边长为 2的正方形，左侧面
垂直于底面，四棱锥的高为 1.
所以几何体的体积 .
故选：D.
答案第 1页，共 2页
4．A
【分析】对于 A，由线面垂直的判定定理判断；对于 BC，由线面平行的性质判断；对于 D，
由线面垂直的性质判断
【详解】解：对于 A，因为 ， ，所以 ，所以 A正确；
对于 B，当 ， 时， 与 可能平行，可能相交，也可能异面，所以 B错误，
对于 C，当 ， 时， 与 可能平行，可能相交不垂直，也可能 在 内，所以 C
错误，
对于 D，当 ， 时， 与 可能平行，可能相交不垂直，也可能 在 内，所以 D
错误，
故选：A
5．D
【分析】先将数据按由小到大重新排序，根据 不是整数，则取第 7位数．
【详解】先将数据按由小到大重新排序 10，12，16，18，20，22，26，28，共 8个数据，
，
不是整数，所以第 分位数是第 7个数 26.
故选：D
6．C
【分析】根据题意，由平面向量基本定理，代入计算，即可得到结果.
【详解】
答案第 1页，共 2页
如图， ，
故选：C.
7．C
【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果.
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，则 ，即 ,
所以 是等腰三角形.
8．D
【分析】首先根据线面平行的性质定理，作辅助线，找到包含 的平面 与平面
的交线，即可计算 的值.
【详解】连结 ，交 于点 ，连结 和 ， ，
因为 平面 ，又
平面 ，且平面 平面 ，
所以 ，又点 是 的中点，所以 是 的中点，
所以
答案第 1页，共 2页
故选：D
9．ACD
【详解】由 ，得 ，所以 A正确；
由 ，得 ，所以 B错误；
，所以 C正确；
，所以 D正确.
10．AB
【分析】根据纯虚数、复数的模、共轭复数的定义以及复平面内点所在象限的特征，分别对
各选项进行分析判断.
【详解】对于 A选项， 已知 为纯虚数，则 ，则 ，A选项
正确.
对于 B选项，已知 ，即 ，这说明 是一个非正实数，即 ，
由 可得 ，此时 ，满足条件，所以若 ，则 ，B
选项正确.
对于 C选项，若点 在第一象限，则 ，得 ，所以若点 在第一象限，则
，而不是 ，C选项错误.
对于 D选项，已知 ，则 ，即 ，所以
，解得 ，而不是 ，D选项错误.
故选：AB.
11．ABC
【分析】根据异面直线定义可知 A错误，由勾股定理易知 可得 B错误；利用线
面平行判定定理可知 C错误；由线面垂直判定定理以及性质定理可知 D正确.
【详解】对于 A，由异面直线定义可知， ， 平面 ，即 与 不是异面
直线，所以 A错误；
答案第 1页，共 2页
对于 B，不妨设三棱柱 的棱长为 ，易知 ，
又 底面 ，所以可知 ，而 ，
显然 ，所以 不是等边三角形，即 B错误；
对于 C，取 的中点为 ，连接 ，如图所示：
又 是棱 的中点，所以 ，
因为 与平面 相交，所以 与平面 不平行，即 C错误；
对于 D，取 的中点 ，连接 ，
又各棱长相等，所以 ，且 底面 ，即 平面 ，
平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，可得 ，即 D正确.
故选：ABC
12．
【解析】设 ，则 ，由题设可得关于 和 的
方程组，从而可求 的值.
【详解】设 ，故 ，
即 ，
故 ，
，
答案第 1页，共 2页
所以 ，
两式相加可得 ，此式代入（1）式可得
或 （舍去），
代入（1）式可得
故答案为： .
13． /5.75
【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算即可求解.
【详解】由于 ,
所以 ,
设 ，
则 ，
当 时， 取最小值，且最小值为 ，
故答案为：
14．3
【分析】根据分层抽样的比例关系，列式求解即可.
【详解】女生被抽取的人数为 ．
故答案为： .
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将条件 边化角，结合平方关系可得解；
（2）根据（1）可求得 ，进而可求得 ，根据余弦定理，可求得 ，
进而可求得 ，代入面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由 及正弦定理，得
，
答案第 1页，共 2页
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
（2）设 ，
易知 ，则 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 (负值已舍去)，
所以 ，
在 中， ，
， 即 ，
又 ，则 ，
所以 .
所以 .
16．(1)
(2)300人
(3)
【分析】（1）由所有频率之和为 1求解；
（2）由年龄在 内的频率计算求解；
（3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解.
【详解】（1）由题可知组距为 ，
则：
解得： .
（2）这 500名中国 AI大模型用户的年龄在 内的频率为：
答案第 1页，共 2页
所以这 500名中国 AI大模型用户的年龄在 内的人数为： 人.
（3）估计这 500名中国 AI大模型用户年龄的平均数为：
.
17．（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）证明 ， 即可得 平面 ，由面面垂直的判定定理即
可求证；
（2）连接 ， 相交于点 ，由线面平行的性质定理可得 ，再由平行线分线段
成比例即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 在平面 内， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）如图，连接 ， 相交于点 ，
因为 平面 ， 面 ，面 面 ，
所以 ，所以 .
18．
【分析】以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，分别求出两
向量 的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果．
【详解】解：以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系如图，
设 ，则 ， ， ， ， 等于 与 所成的角．
∵ ，
答案第 1页，共 2页
∴ ．
【点睛】本题主要考查平面向量的应用，熟记向量的夹角公式，灵活运用建系的方法求解即
可，属于常考题型．
19． ， .
【分析】利用复数乘方运算、除法运算求出复数 z，再结合复数的几何意义计算作答.
【详解】依题意， ，
，复数 0， ， 对应的点 ， ， ，
而复数 0， ， 对应的点是正三角形的三个顶点，又 ，
于是得 ，又点 在第一象限内，则有 ， ，解得 ，
所以 ， .
答案第 1页，共 2页英吉沙县2025-2026学年第二学期期末质量检测
(2)
高一数学
答题卡
学校：
姓名：
考场/座位号：
注意事项
1答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清莞，并认真核对条形
码上的姓名和准考证号」
贴条形码区
2选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留
痕迹。
(正面朝上，切勿贴出虑线方框
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色虽水签字笔书写，否则作答无效
要求字迹工整，笔迹清陈。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。
在草稿纸、试题卷上答无效。
5清勿折叠答题卡，保持字迹工整，笔迹清饰、卡面清清。
正蒴涂
缺考标记
16.(15分)
频率/组距
一、单选题（共8小题，每题5分，共40分)
0.040
(1)
0.030
IA】[B][C][D]
2.【A】[B][C】ID]
3.【AJ[B]【C]ID]
4.[A][B][C][D]
5.【A】[B】[C】IDJ
6.【A】[B]C】ID]
7.【A】[B】IC】IDI
8.【AJIB][C】【DJ
0.010
0.005
2
二、多选题（多选题（本题共3小题，每题6分，共18分。每题有多项符合要求，全选对得6分，
0152535455565年龄/岁
部分选对得部分分，有错选得0分)
9.[A][B][C][D]
10.[A】IBJ[CJID]
11.[A][B][C][D]
三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
(2)
13
14.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(16分)
(1)
(3)
17.（16分)
M
18.(16分)
(1)
A
入
D
19.(14分)
(2)

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