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2025-2026学年上海八中高一（上）期中数学试卷
一、填空题
1．设全集，2，3，，集合，，则 　　 ．
2．已知等式恒成立，则　　 ．
3．已知，，则　　．
4．若幂函数的图像经过点，则其表达式为　　 ．
5．“”是“、是方程的两根”的 　　 条件．
6．当时，求的最小值为 　　．
7．若代数式有意义，则其中实数的取值范围是 　　．
8．满足条件，，，，，的集合的个数是　　 ．
9．已知集合，，若集合有3个真子集，则实数的取值范围为 　　 ．
10．若不等式的解集为，则实数的取值范围是　　 ．
11．若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为　　 ．
12．由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是 　　．
①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素．
二、选择题
13．下列命题中错误的是　　
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
14．对于集合和，令，，，若，，，，则　　
A．整数集 B． C． D．，
15．下列运算中正确的是　　
A． B．
C． D．
16．假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：与刹车前的速度（单位：之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据：
（单位： 5 10 20
（单位： 1.2025 2.725 6.73
对于以下两个结论：
①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为；
②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶．
其中正确的是　　
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
三、解答题
17．（8分）已知集合，，全集为．
（1）求集合和；
（2）求阴影部分表示的集合．
18．（8分）已知幂函数在上为严格减函数．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（10分）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为．
（1）试用栏目高与宽表示整个矩形广告面积；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．
20．（10分）已知函数．
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）当，时，恒成立，求实数的取值范围．
21．（16分）设是实数集的非空子集且至少有两个元素，称集合，且为集合的生成集．
（1）当，3，时，写出集合的生成集；
（2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；
（3）用反证法证明：不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，．
参考答案
一、填空题
1．，．
2．6．
3．72．
4．．
5．必要且不充分．
6．10．
7．，，．
8．7．
9．．
10．．
11．，．
12．①②④．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：（1）由，得，解得，
所以，
由，得，解得，
所以；
（2）由图可知阴影部分表示的集合为，
因为，所以，
所以阴影部分表示的集合为．
18．解：（1）．
（2）实数的取值范围是．
19．解：（1）设矩形栏目的高为，宽为，则，
广告的高为，宽为（其中，，
广告的面积；
（2），
当且仅当，即时，取等号，此时．
故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小．
20．解：（1），即，
要使时，恒成立，则有△，
即，解得，
即的取值范围是，．
（2）当，时，设，分以下三种情况讨论：
①当，即时，在，上单调递增，
在，上的最小值为，
因此无解；
②当，即时，在，上单调递减，
在，上的最小值为（2），
因此解得；
③当，即时，在，上的最小值为，
因此解得．
综上所述，，即实数的取值范围是，．
21．解：（1），3，，，，，
由生成集的定义可得，10，．
（2）设，，，，，不妨设．
，
集合中元素个数大于等于7，
若，2，4，8，时，集合，4，8，16，32，64，，且中元素个数为7，
生成集中元素个数的最小值为7．
（3）证明：假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其生成集，3，5，6，10，，
不妨设，则集合的生成集，，，，，，
则必有，，此时，也有，，此时，
矛盾，假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，．
（单位： 5 10 20
（单位： 1.2025 2.725 6.73

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