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2025-2026学年上海市宝山区通河中学高一（上）期中数学试卷
一、填空题
1．已知全集，1，，集合，则　　 ．
2．将化成有理数指数幂的形式 　　．
3．用反证法证明：若“且”，则“且”，第一步应假设 　　．
4．已知，则 　　．
5．已知幂函数的图象过点，则实数　　．
6．“”是“一元二次方程有实数解”的　　条件．
7．若、是方程的两根，则　　．
8．若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　 ．
9．若不等式的解集为，，，则不等式的解集为 　　．
10．对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 　　 时成立．
11．已知集合，2，，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 　　．
12．对任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，在实数轴（箭头向右）上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是．这个函数叫做“取整函数”，它在生产实践中有广泛的应用．那么　 　．
二、选择题
13．已知且，则下列不等式正确的是　　
A． B． C． D．
14．设，，则的值是　　
A． B． C． D．
15．下列函数中：
①；
②；
③；
④．
其中图像不经过原点的函数的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．若，且，则的最大值为　　
A．2 B． C．4 D．8
三、解答题
17．（8分）已知集合，，，，，，若，求实数的值及．
18．（8分）（1）已知，，，，，求证：；
（2）已知实数，比较与的值的大小．
19．（8分）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）若，求；
（2）若，求正数的取值范围．
20．（10分）如图所示，刘邦文化节期间，沛县文旅在大风歌广场搭建三块完全相同的矩形沛县传统文化展台，在三块展台四周（斜线部分）铺设观赏通道已知观赏通道宽度相同，三块展台面积均为150平方米．
（1）若矩形沛县地方特产展台的长比宽至少多5米，求展台宽的取值范围；
（2）若矩形沛县传统文化展台四周及中间观赏通道的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形沛县传统文化展台宽为多少时，整个展示区域（展示区域包含三块展台和四周（斜线部分）观赏通道）面积最小，并求其最小值．
21．（12分）法国数学家佛朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题．
（1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；
（2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；
（3）已知集合，，有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值．
参考答案
一、填空题
1．，．
2．．
3．或．
4．．
5．．
6．必要不充分．
7．．
8．，．
9．，．
10．．
11．4．
12．3595．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：实数的值为，，，0，1，．
18．解：（1）证明：因为，，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立；
（2）因为，
因为，则，，当且仅当时，等号成立，
可得，即，
所以，当且仅当时，等号成立．
19．解：（1）根据题意，若，则有且，
解可得，
即不等式的解集为，，即，；
（2），
则；
且，
又由，
，即，；
若，则，
必有，
即的取值范围是，．
20．解：（1）设矩形展台的宽为米，以为展台的面积为150平方米，
则长为米，
依题意，即，
即，即，
所以矩形展台宽的取值范围是，；
（2）整个展示区域的宽为米，长为米，
所以整个展台的面积为：，
当且仅当，即时等号成立．
所以矩形展台宽为10米时，整个展示区域的面积最小，最小值是722平方米．
21．解：（1）设另外一个根为，由韦达定理得，，
解得，．
（2）方程有两个实数根、，
由韦达定理得，
故，
代入得，解得或，
由得，故，
（3）由题意可知：函数与的图象恰好有3个交点，
即方程有两个实数根、，不妨设且满足，关于对称轴对称，
第三个根，，时，，①
故，，②
由勾股定理得，进而得，
由于，所以，进而得，将其代入①②可得，
由于，所以，则．

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