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2025-2026学年上海市普陀区甘泉外国语中学高一（下）期末数学试卷
一、填空题
1．已知复数（其中为虚数单位），则　　 ．
2．半径为6，圆心角等于的扇形的面积是 　　．
3．等比数列中，，，则　　．
4．曲线在点处的切线方程为　　．
5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 　　 （用坐标表示）．
6．记等差数列的前项和为，若，则　　 ．
7．（5分）函数的减区间为　　．
8．（5分）如图，在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则　　 ．
9．（5分）设方程的两个根为、，且，则实数的值是　　．
10．（5分）在△中，，，分别为内角，，所对的边，，，且，则△的面积为　　 ．
11．（5分）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 　　 米处观看？（精确到0.1米）
12．（5分）对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数” ，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是　　．
二、选择题
13．已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
14．若函数图象如图，则图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
15．（5分）已知数列为各项均不相等的等比数列，其前项和为，且，，成等差数列，则（　　）
A．3 B． C．1 D．
16．（5分）设，，函数若函数恰有3个零点，则（　　）
A．， B．， C．， D．，
三、解答题
17．（14分）已知数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
18．（14分）已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根．
（1）设、满足方程，求、；
（2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
19．（14分）2025年春晚《秧》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为．
（1）当长度不受限制，时，机器狗以米秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？
（2）已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值．
20．（18分）已知函数．
（1）求函数的周期；
（2）若函数，求函数在区间上的值域；
（3）若恒成立，试求实数的取值范围．
21．（18分）若函数在处取得极值，且（常数，则称是函数的“相关点”．
（1）若函数存在“相关点”，求的值；
（2）若函数（常数存在“1相关点”，求的值：
（3）设函数的表达式为（常数、、且，若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1．2．
2．．
3．4．
4．．
5．．
6．110．
7．．
8．．
9．2或0．
10．．
11．3.2．
12．，．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：（1）由数列的前项和为，，
当时，由得，，
两式相减得，即为，
当时，，得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，且．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
即．
18．解：（1）因为、是实系数一元二次方程的两个虚根，所以设，．
则，
即，
所以，，
解得，，
所以或．
（2）由题意：，，故，
故．
由于向量与的夹角为钝角，设两向量夹角为，故，
解得，故．
19．解：（1）在△中，为，，
由正弦定理知，即，
所以，
解得，因为，所以，
此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功．
（2）在△中，由余弦定理知，
故，当且仅当时等号成立，
整理得，即，此时，
故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米．
20．解：（1）因为
，
所以的周期．
（2）由（1）知
，
当时，，，
所以，，
所以，
所以函数区间上的值域为．
（3）因为
，
所以当时，．
恒成立，
等价于，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为，．
21．解：（1）因为在处取得极值（最值），
由，解得．
（2）记，
在处取得极值且，
由得，
所以且，
所以，
由，得，
设，
所以，
所以函数在区间上严格单调递增，
又（1），
所以方程有唯一实数根，即，
解得，
当时，，，
，
令，得或（舍去），
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以在处取得极小值，满足题意，
综上所述，的值为1．
（3）由得，
所以，
设，为函数的“2相关点”，
则且，，
．
则且，，
所以且，
解得，，，
由，，
设切点为，，则切线的斜率，
所以切线方程为，
将点代入整理，
设，
则函数在上有三个不同的零点，
，，
令得或，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
，（2），
所以在区间和上都没有零点，在，上恰有一个零点，
所以区间和各有一个零点，
所以，
所以，
所以的取值范围为．

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