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2025-2026学年上海市普陀区同济大学第二附属中学高一（下）期末数学试卷
一、填空题
1．设是虚数单位，，则　　 ．
2．函数是　　 函数（填“奇”或“偶” ．
3．函数，其中的导数　　 ．
4．若向量满足，且与的夹角为，则　　 ．
5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 　　 （用坐标表示）．
6．已知平面向量，若与共线，则的值为 　　．
7．（5分）若，则　　．
8．（5分）已知，且，则的值是 　　．
9．（5分）已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为　　 ．
10．（5分）已知，则　　 ．
11．（5分）若复数满足，则的最小值是 　　 ．
12．（5分）如图，矩形中，，，，分别为边，上的动点，且．则的最小值为　　 ．
二、选择题
13．已知，“”是“为实数”的　　条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
14．已知向量，，若，则（　　）
A．2 B． C． D．5
15．（5分）要得到的图象，可由函数的图象（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
16．（5分）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为；②该函数为奇函数；
③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题
17．（14分）已知是关于的方程的一个根，其中，．
（1）求的值；
（2）设复数满足是纯虚数，求实数的值．
18．（14分）已知函数及点．
（1）若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程；
（2）若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值．
19．（14分）如图所示，公路一侧有一块空地△，其中，，，规划局设计在中间开挖人工湖△，、都在边上，、不与、重合，在、之间），且．
（1）若在距离点处，求的长度；
（2）为节省投入资金，要让人工湖△的面积尽可能小，设，试确定的值，使△的面积最小，并求出最小面积．
20．（18分）已知函数．
（1）将函数化为的形式；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围．
21．（18分）定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对，为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为，．
（1）若，的斜坐标为2，3，的斜坐标为1，，求的值；
（2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角，若存在，求出，若不存在，说明理由；
（3）记，在该斜坐标系中，若，求的大小；
参考答案
一、填空题
1．13．
2．偶．
3．．
4．．
5．．
6．．
7．1．
8．．
9．．
10．0．
11．5．
12．16．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：（1）是关于的方程的一个根，
是方程的另外一个根，
，解得，
；
（2），，
则，
又是纯虚数，
，解得．
18．解：（1）因为，若点在的图象上，
则，所以，又，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）由点在的图象外，得，则，
设过点的直线与的图象切于点，
则切线的斜率，
由过点与的图象相切的直线斜率是1，
得，解得，，
所以的值为1．
19．解：（1）在△中，，，，
，则，
在△中，已知，，，
由余弦定理：
，故．
（2）设，则，
在△中，，，
由正弦定理得：．
在△中，由正弦定理得：，
△的面积：，
令，则
，
，，
当，即时，取得最大值，
此时取得最小值：，
当时，△的面积最小，最小面积为．
20．解：（1）
．
（2）由可得，可得，
令，，
由可得，所以，
故，故实数的取值范围是，．
（3），
当时，，且，
因为正弦函数在上从小到大的第一个最小值点为，第二个最小值点为，
因为有且只有一个，使得函数取得最小值，
则，解得，
故实数的取值范围是．
21．解：（1）根据题意知，，，，
所以，，
所以；
（2）由题意得，，，，因为，
所以
，所以，
又因为为锐角，所以不存在；
（3）因为，，，，
所以，，
则
，
因为，所以，
因为，所以，则，所以．

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