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2025-2026学年上海市青浦区朱家角中学高一（下）期末数学试卷
一、填空题
1．垂直于同一平面的两直线的位置关系　　．
2．已知向量，，若，则　　 ．
3．若复数满足，则　　 ．
4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则　　．
5．在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面的直线有　　 条．
6．设、是方程的两根，则　 　．
7．在正四棱柱中，若，则异面直线与所成角的大小为 　　．
8．已知向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量的夹角为 　　 ．
9．太阳能光伏板的支架可以带动光伏板转动，使其正对太阳光发电．秋分正午，上海地区太阳高度角为，此时光伏板与水平面所成的锐二面角大小为　　 ．（太阳高度角是指太阳光线与水平面所成角）
10．已知关于的方程在，内有三个不同的解，则实数　　 ．
11．已知函数，若，且，则的最小值为　　 ．
12．在棱长为2的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面四边形内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的取值范围是 　　．
二、选择题
13．已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知为平面外一点，直线，点，记点到平面的距离为，点到直线的距离为，点、之间的距离为，则（　　）
A． B． C． D．
15．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时80分钟．设经过分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等（假定沙堆的底面是水平的），则的值为（　　）
A．10 B．20 C．60 D．70
16．正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线，，，与平面所成角分别为，，，．若，，则点在（　　）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
三、解答题
17．（8分）已知复数满足为虚数单位），复数的虚部为2，是实数，求．
18．（10分）如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．
（1）若，求实数，的值．
（2）计算的值．
19．（12分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2．
（1）若AA1＝2，求AA1与平面ABCD所成角的大小；
（2）求证：AA1∥平面BC1D，若正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为3，求三棱锥A1﹣BC1D的体积．
20．（12分）已知函数，任取，若函数在区间，上的最大值为，最小值为，记．
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）当，时，求函数的解析式．
21．（14分）圆锥的轴截面为等腰，为底面圆周上一点．
（1）若的中点为，，求证：平面；
（2）如果，，求此圆锥的侧面积；
（3）如果二面角的大小为，求的大小．
参考答案
一、填空题
1．平行．
2．．
3．2．
4．．
5．6．
6．．
7．．
8．．
9．．
10．1．
11．．
12．．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：．
18．解：（1）由题意，，
故，
所以，；
（2）由题意，，，
则
．
19．解：（1）过A1作A1H⊥平面ABCD于H，连接AH，
过H分别作HE⊥AB于E，HF⊥AD于F，连接A1E，A1F，
如图，HE为A1E在平面ABCD上的射影，
由于AB 平面ABCD，所以，
由于A1H∩HE＝H，A1H，HE 平面A1HE，
所以AB⊥平面A1HE，由于A1E 平面A1HE，所以，
所以，同理A1F⊥AD，AF＝1，四边形AEHF为正方形，
所以，AH为A1A在平面ABCD上的投影，
所以AA1和平面ABCD所成角即，，
故AA1和平面ABCD所成角为45°．
（2）证明：连接AC、BD交于O，连接A1C1，B1D1交于O1，
如图，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得A1C1∥AC，
且，，AO＝，
所以四边形A1C1OA为平行四边形，所以AA1∥OC1，
因为AA1 平面BC1D，OC1 平面BC1D，所以AA1∥平面BC1D．
由正棱台性质OO1与上下底面均垂直，则OO1＝3，
因为OO1⊥BD，AC⊥BD，AC∩OO1＝O，AC，OO1 平面A1OC1，
所以BD⊥平面A1OC1，所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，
即
＝．
20．解：（1）函数的最小正周期，由得，，即对称轴方程为，．
（2）画出函数的部分图象，如右图，
当，时，在区间，上的最小值为，最大值为，
；
当时，在区间，上的最小值为，最大值为，
，
当时，在区间，上的最小值为，最大值为，
．
即．

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