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2025-2026学年上海市杨浦区复旦大学附属中学高一（下）期末数学试卷
一、填空题
1．半径为1的球的表面积是　　 ．
2．在四棱柱中，是平行四边形的面至少有　　 个．
3．已知函数，且（a），则　　 ．
4．如图，△是水平放置的△的直观图，，，，则原△的周长为　　 ．
5．已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为　　 ．
6．已知是正四棱锥，，则该棱锥的高为　　 ．
7．（5分）如图，在长方体中，所在直线与是异面直线的棱有　　 条．
8．（5分）已知正六棱柱底面边长为2，侧面积为36，则此六棱柱最长的体对角线与底面所成的角的余弦值为　　 ．
9．（5分）如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为　　 ．
10．（5分）已知，，满足且，则　　 ．
11．（5分）已知正方体的棱长为2，点在线段上（不含端点），点在线段上，且，若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为　　 ．
12．（5分）如图，已知圆台形水杯（不计厚度）内盛有水，杯口的直径为，杯底的直径为，杯高为．若当杯底水平放置时，水深为，当水杯密封好倒扣过来水平放置时，水深为，且，则为　　．（精确到
二、选择题
13．“棱柱是直棱柱”是“棱柱有一个侧面与底面垂直”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．已知，是空间中的两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
15．（5分）已知函数，直线是图像的对称轴，点是图像的对称中心，则的可能值为（　　）
A．0 B． C． D．
16．（5分）对于非零平面向量，，定义，其中为在方向上的投影向量．给出下列命题：①对任意实数，都有恒成立；②对任意给定的平面上的一组基，，存在非零向量，使得成立．则以下判断正确的是（　　）
A．①为真命题；②为真命题 B．①为真命题；②为假命题
C．①为假命题；②为真命题 D．①为假命题；②为假命题
三、解答题
17．（14分）已知复数，在复平面上对应的点分别为，，且在第一象限．
（1）若，两点关于虚轴对称，且为纯虚数，求实数的值；
（2）若，是关于的方程的两个根，求实数的值．
18．（14分）如图，在△中，，点是的中点．
（1）用，的线性组合表示与；
（2）若，且，求．
19．（14分）将边长为1的正方形绕边所在直线旋转，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分．
（1）求该几何体的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
20．（18分）如图1，在矩形中，，，是边的中点，将△沿顺时针方向翻折，使点到达点的位置，且点不在平面上，连接、．
（1）求证：；
（2）若平面平面，求二面角的大小；
（3）如图2，设为的中点，求在整个翻折过程中线段长的取值范围．
21．（18分）香港中银大厦以其独特的三角形桁架结构和底部正方形平面（对角线垂直）闻名，某公园计划仿照这一几何理念建造一座现代景观亭．模型主体由水平基座和两个垂直立柱构成，具体参数如下：
●基座的底面为四边形，其对角线互相垂直，且交于点，经实地测量，米，米．
●从点竖直向上安装一根立柱，垂直于基座平面；从点竖直向上安装另一根垂直于基座平面的立柱，其中米．
●为形成三角形玻璃幕墙效果，在顶点，，之间连接钢梁形成侧面△（参考中银大厦的三角形玻璃幕墙），在顶点，，之间连接钢梁形成另一侧面△．所有钢梁均视为直线段．
设计团队需建立三维几何模型，用于结构安全性评估、材料用量估算及照明设施布置，需解决以下建模问题：
（1）试用几何推理验证：基座上的棱平行于侧面△所在平面；
（2）为了估算结构所需填充材料的用量，求三棱锥的体积（单位：立方米）；
（3）因照明需求，计划在建筑棱线上安装照明灯，设计要求：以为顶点、基座为底面的四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出安装位置并说明理由．
参考答案
一、填空题
1．．
2．4．
3．．
4．12．
5．．
6．．
7．4．
8．．
9．．
10．．
11．．
12．5.04．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：（1）由题意得，
因为，两点关于虚轴对称，所以，即，则，
，
因为为纯虚数，所以，解得或，
因为，故．
（2）实数系方程的虚根为共轭复数，则，
得，
，
即，得，解得或，
因为，故舍去，综上，．
18．解：（1）由已知可得；
因为点是的中点，
所以；
（2）设，由（1）知，，
因为，所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
因此．
19．解：（1）由题意将边长为1的正方形绕边所在直线旋转，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分，
可得几何体的表面积为；
（2）因为，所以异面直线与所成的角即或其补角，
连接，，
，
所以，又，
所以，
所以异面直线与所成角的大小为．
20．解：（1）证明：由题意可知，，
取线段的中点，连接，，，则，，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以；
（2）连接，
，则由勾股定理可知，
面面，面，面面，则面，
面，则，
，，，面，则面，
面，则，
所以是二面角的平面角，
，，则，
，则，所以，
则二面角的大小为；
（3）取线段的中点，连接，，
，，则四边形是平行四边形，则，
，则，
，则，
则在整个翻折过程中线段长的取值范围为．

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