资源简介

2025-2026学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期末数学试卷
一、填空题
1．已知集合，2，3，4，，，则　　 ．
2．解不等式，则不等式的解集是　　
3．已知幂函数在上单调递增，则实数　　 ．
4．等差数列的前项和为，且，，则　 　．
5．在的展开式中，常数项为 　　（用数字作答）
6．已知正实数、满足，则的最大值为 　　 ．
7．（5分）将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为　　 ．
8．（5分）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则　　 ．
9．（5分）已知甲盒中有4个红球和3个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球．现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是　　 ．
10．（5分）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则　　 （精确到．
11．（5分）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于点，，与轴交于点，，，则的离心率为 　　 ．
12．（5分）在以为原点的空间直角坐标系中，设、，和是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，、且，则的取值范围是　　 ．
二、选择题
13．已知抛物线上的一点，到其焦点的距离为3，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
14．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（　　）
A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数
15．（5分）已知正四面体的棱长为3，动点满足，则的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．3
16．（5分）设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设（a）（b），，，则对于以下两个结论，说法正确的是（　　）
结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数；
结论②：若当，恒有，则函数一定是偶函数．
A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误
三、解答题
17．（14分）已知函数，其中实数．
（1）若的最小正周期为，求在处的切线方程；
（2）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
18．（14分）如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点．
（1）设平面平面，求证：；
（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的大小．
19．（14分）某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表．
购买手机 购买无技术的手机 总计
男性顾客 45 65 110
女性顾客 56 34 90
总计 101 99 200
（1）根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由；
（2）从这110位男性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买手机的概率（精确到；
（3）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励300元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望．
参考公式及数据：①，其中．
②，，，．
20．（18分）已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于、两点．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若是双曲线上在第一象限的点，，求△的面积；
（3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标．
21．（18分）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为（D），最小值为（D）．
（1）设，，若（D），求实数的值；
（2）设，，，若（D）（D），且，求的值；
（3）已知，（1），且对任意闭区间，，（D）与（D）均存在．求证：“在区间，上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，，当，且时，均有．”
参考答案
一、填空题
1．，．
2．．
3．6．
5．60．
6．．
7．．
8．1或3．
9．．
10．．
11．．
12．，，．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：（1）由题意可得，
因为的最小正周期为，
所以，解得，
所以，
则，可得切点为，
又，
则，
所以在处的切线方程为，即；
（2）由（1）知，，
由于，
则，
又在区间上恰有两个零点，
则，且，
即，
解得，
故的取值范围为．
18．解：（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，所以；
（2）由题意得四边形为边长为2的正方形，，
由已知，由勾股定理得，
，当且仅当时，等号成立，
则，
故当时，三棱锥的体积最大，
因为平面，平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以，故即为二面角的平面角，
则，所以．
19．解：（1）作原假设：购买手机与顾客的性别无关，取，
得，所以否定原假设，即有的把握认为购买手机与顾客的性别有关．
（2）由题意得．
（3）解法一：设第次抽中奖金为，则，
由题设可得的分布列为
从而，而，相互独立，
故．
解法二：由题意得，随机变量的可能取值为0，100，200，300，400，600，
而，，
，，
，，
故的分布列为
期望．
20．解：（1）对于双曲线，可得，
故双曲线的渐近线方程为，即；
（2），直线与双曲线的右支交于、两点．
设，，，由题意可知，，
则，
由，得，
即，
又在双曲线上，故，则，
结合，得，则，
由于，故，
又，故△的面积．
（3）直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，
设，，，，由，知，，
设直线方程为：，
与双曲线联立化简得，
，△显然成立，设交点，、，，如图，
由韦达定理：，
由得，，，
从而，，即，即，
将韦达定理代入
化简得（※），
因为，即，
由已知，在双曲线上，得，
从而得代入（※）式，
得，
化简得，即，
解得，结合，解得，
则点的坐标为．
若直线斜率不存在，则，此时，，不符合题意，舍去；
所以点的坐标为．
购买手机 购买无技术的手机 总计
男性顾客 45 65 110
女性顾客 56 34 90
总计 101 99 200
0 100 300
0 100 200 300 400 600

展开更多......

收起↑