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福建省泉州市台商投资区2025-2026学年七年级上学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）﹣2026的倒数是（　　）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
2．（4分）中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约35500m2．将35500用科学记数法表示应为（　　）
A．35.5×104 B．3.55×104 C．3.55×105 D．0.355×105
3．（4分）下列单项式中，与2ab3是同类项的是（　　）
A．2ab B．3a3b C．﹣ab3 D．﹣2ab2
4．（4分）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3x＝5x2 B．3xy﹣xy＝2xy
C．2x+3y＝5xy D．5x2﹣3x2＝2
6．（4分）如图，固定窗帘架只需固定其中的两点，这样做的根据是（　　）
A．两点之间，直线最短 B．两点之间，射线最短
C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线
7．（4分）已知点A，B，C在同一条直线上，AB＝6，BC＝2，则AC的长为（　　）
A．4 B．8 C．4或8 D．无法确定
8．（4分）已知a﹣b＝2，则代数式2b﹣2a+3的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
9．（4分）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（　　）
A．270° B．250° C．230° D．180°
10．（4分）四个互不相等的整数m，n，p，q满足mnpq＝9．则m﹣n+p﹣q的最大值是（　　）
A．12 B．9 C．7 D．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）比较大小： 　 　 ．
12．（4分）单项式的次数是　 　 ．
13．（4分）已知∠1＝140°30′，则∠1的补角是　 　 °．
14．（4分）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠BOC＝15°，则∠AOD的大小为　 　 ．
15．（4分）光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处射线BD是光线AB的延长线，∠1＝60°，∠2＝43°，则∠DBC的度数为 　 　 ．
16．（4分）“会当凌绝顶，一览众山小”登山有益身体健康．小华新购入一根可伸缩登山杖（如图1），这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节近似看成三条线段（如图2），其中上节EF是固定不动的，长度是54cm，它比中节CD长7cm，中节CD又比下节AB长3cm，中节CD和下节AB可根据实际需要进行伸缩，在无伸缩的初始状态下，点D与点E重合，点B与点C重合．如图3，在登山过程中，需要根据不同的地形调整登山杖的长度，当总长度AF缩短到116cm，且C恰为AE的中点时，则缩进部分DE的长度为　 　 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：（﹣1）2025+（﹣2）2÷4+|﹣3|．
18．（8分）先化简，再求值：2x2﹣3xy﹣4（x2﹣xy+1），其中x＝1，y＝﹣2．
19．（8分）如图，线段AB＝10，点C是线段AB上一点，AC＝6，M是BC的中点，求线段AM的长．
20．（8分）如图，有A、B、C、D四个点，请按下列语句画出相应图形．
（1）画直线BA；
（2）画射线BC；
（3）画点D到直线BA的垂线段，垂足为E．
21．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠BOE＝130°，求∠AOC的度数．
22．（10分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．规定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2，根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（5，﹣3）★（3，2）＝　 　 ．
（2）若有理数对（2，x﹣1）★（k，2x+k）的值与x的取值无关，求k的值．
23．（10分）项目式学习
【项目主题】探究包装盒的打包方式．
【项目背景】学习了课本中“项目式学习2：包装中的智慧”后，同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究．
【项目素材】春节临近，某电商平台需要定制一种上盖为双层的长方体外包装纸箱（如图1），上盖纸板面积等于底面面积的2倍，并且每个外包装纸箱刚好能装入两个同样大小的小包装盒（如图2），设装入时不留空隙，且纸箱厚度忽略不计．已知每个小包装盒的长、宽、高分别为a，b，c，且a＝c，b＜a．现有如图2所示的甲、乙两种放入纸箱的摆放方式．
（1）分别计算甲、乙两种摆放方式所需外包装纸箱的纸板面积；（用含a，b的代数式表示）
（2）当a＝20cm，b＝12cm时，问电商平台应选择哪种摆放方式，所需纸箱的纸板面积较少？
24．（12分）数学一开始就是研究“数”和“形”的，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且|a+1|+（b﹣5）2＝0．在数轴上方以点A为圆心，AB长为半径的半圆弧与数轴相交于另一点C．
（1）填空：点A表示的数为　 　 ，点C表示的数为　 　 ；
（2）点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动到点B，再沿半圆弧以每秒20°的速度（即射线AP绕着点A逆时针每秒旋转20°）运动到点C后停止．点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动到点C，再沿半圆弧以每秒15°的速度（即射线AQ绕着点A顺时针每秒旋转15°）运动到点B后停止．点P和点Q同时出发，设运动时间为t秒．
①当P点和Q点都在线段BC上，点P与点Q的距离为6时，求t的值；
②当点Q在半圆弧上，点P在线段BC上时，连接AP，AQ，D为半圆弧上一点，连接AD，且∠BAD＝80°，射线AE为∠PAQ的角平分线．试探究：是否存在t的值，使得∠EAD＝5°？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，点P是直线CD上一点．
（1）请利用尺规作图：过点P作直线AB的平行线MN（点M在直线CD的左侧，点N在直线CD的右侧）．
（2）在（1）条件下，OE平分∠AOP，PF平分∠MPO，PF与OE相交于点G，已知OG＝3，PG＝4，OP＝5，求点G到直线CD的距离．
（3）在（1）条件下，点H在射线PN上，过点H作HI∥CD交直线AB于点I，则可得PH＝OI．连接PI，点J在线段HI上且满足，连接PJ并延长交直线AB于点K，若△PJH与△IJK面积之和为13，求△POK的面积．
参考答案
一、选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.C 2.B 3.C 4.A5.B 6.D7.C 8.A 9.A10.D
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．＞．
12 4．
13．39.5．
14． 165°．
15．17°．
16．16cm．
三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：（﹣1）2025+（﹣2）2÷4+|﹣3|．
解：原式＝﹣1+4÷4+3
＝﹣1+1+3
＝3．
18．（8分）先化简，再求值：2x2﹣3xy﹣4（x2﹣xy+1），其中x＝1，y＝﹣2．
解：2x2﹣3xy﹣4（x2﹣xy+1）
＝2x2﹣3xy﹣4x2+4xy﹣4
＝﹣2x2+xy﹣4，
当x＝1，y＝﹣2时，
原式＝﹣2×12+1×（﹣2）﹣4
＝﹣2﹣2﹣4
＝﹣8．
19．（8分）如图，线段AB＝10，点C是线段AB上一点，AC＝6，M是BC的中点，求线段AM的长．
解：线段AB＝10，点C是线段AB上一点，AC＝6，M是BC的中点，
∴BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，
∵M是BC的中点，
∴，
∴AM＝AC+CM＝6+2＝8，
答：线段AM的长为8．
20．（8分）如图，有A、B、C、D四个点，请按下列语句画出相应图形．
（1）画直线BA；
（2）画射线BC；
（3）画点D到直线BA的垂线段，垂足为E．
解：（1）根据直线的定义画图即可，如图所示，直线BA即为所求；
（2）根据射线的定义画图即可，如图所示，射线BC即为所求；
（3）如图所示，垂线段DE即为所求．
21．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠BOE＝130°，求∠AOC的度数．
解：∵∠BOE＝130°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣130°＝50°，
∵OE⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∴∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°．
22．（10分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．规定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2，根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（5，﹣3）★（3，2）＝　　 ．
（2）若有理数对（2，x﹣1）★（k，2x+k）的值与x的取值无关，求k的值．
解：（1）规定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，
由题意得，原式＝5×2﹣（﹣3）×3＝10+9＝19，
故答案为：19；
（2）由题意得，2（2x+k）﹣k（x﹣1）＝4x+2k﹣kx+k＝（4﹣k）x+3k，
由题意可得：4﹣k＝0，
即k＝4．
23．（10分）项目式学习
【项目主题】探究包装盒的打包方式．
【项目背景】学习了课本中“项目式学习2：包装中的智慧”后，同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究．
【项目素材】春节临近，某电商平台需要定制一种上盖为双层的长方体外包装纸箱（如图1），上盖纸板面积等于底面面积的2倍，并且每个外包装纸箱刚好能装入两个同样大小的小包装盒（如图2），设装入时不留空隙，且纸箱厚度忽略不计．已知每个小包装盒的长、宽、高分别为a，b，c，且a＝c，b＜a．现有如图2所示的甲、乙两种放入纸箱的摆放方式．
（1）分别计算甲、乙两种摆放方式所需外包装纸箱的纸板面积；（用含a，b的代数式表示）
（2）当a＝20cm，b＝12cm时，问电商平台应选择哪种摆放方式，所需纸箱的纸板面积较少？
解：（1）甲种摆放方式：2ac+2×2bc+3×2ab＝2ac+4bc+6ab＝2a2+4ba+6ab＝2a2+10ab；乙种摆放方式：2bc+2×2ac+3×2ab＝2bc+4ac+6ab＝2ba+4a2+6ab＝4a2+8ab；
（2）两种摆放方式所需外包装纸板面积的差为：（2a2+10ab）﹣（4a2+8ab）＝2a2+10ab﹣4a2﹣8ab＝﹣2a2+2ab，
当a＝20cm，b＝12cm时，﹣2a2+2ab＝﹣2×202+2×20×12＝﹣800+480＝﹣320＜0，
∴甲种摆放方式所需纸箱的纸板面积较少．
24．（12分）数学一开始就是研究“数”和“形”的，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且|a+1|+（b﹣5）2＝0．在数轴上方以点A为圆心，AB长为半径的半圆弧与数轴相交于另一点C．
（1）填空：点A表示的数为　　 ，点C表示的数为　﹣7　 ；
（2）点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动到点B，再沿半圆弧以每秒20°的速度（即射线AP绕着点A逆时针每秒旋转20°）运动到点C后停止．点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动到点C，再沿半圆弧以每秒15°的速度（即射线AQ绕着点A顺时针每秒旋转15°）运动到点B后停止．点P和点Q同时出发，设运动时间为t秒．
①当P点和Q点都在线段BC上，点P与点Q的距离为6时，求t的值；
②当点Q在半圆弧上，点P在线段BC上时，连接AP，AQ，D为半圆弧上一点，连接AD，且∠BAD＝80°，射线AE为∠PAQ的角平分线．试探究：是否存在t的值，使得∠EAD＝5°？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题可得a＝﹣1，b＝5，
∴A表示的数为﹣1，B表示的数为5，
∴AC＝AB＝6，
∵C在A左侧，
∴C表示的数为﹣7，
点A表示的数为﹣1，点C表示的数为7，
故答案为：﹣1，﹣7；
（2）设运动的时间为t，
当P点和Q点都在线段BC上，
点P表示的数为：﹣7+2t；点Q表示的数为：5﹣4t，
当P、Q两点的距离为6时，则（﹣7+2t）﹣（5﹣4t）|＝6，
整理得|6t﹣12|＝6，
①当6t﹣12＝6时，
解得t＝3；
②当6t﹣12＝﹣6时，
解得t＝1；
综上所述，P、Q两点的距离为6时，t的值为1或3；
（3）由题知BC＝12，
∴点Q从B到C的时间为秒，点P从C到B的时间为秒，
①当点P在AB上，点Q在弧CD上，AE在AD左侧时，
∵∠BAD＝80°，∠EAD＝5°，
∴∠BAE＝85°，
∵AE平分∠PAQ，
∴∠PAQ＝2∠BAE＝170°，
∴∠CAQ＝10°，即15（t﹣3）＝10，
解得，
②当点P在AB上，点Q在弧CD上时，AE在AD右侧时，
此时∠BAE＝75°，
∴∠PAQ＝2∠BAE＝150°，
∴∠CAQ＝30°，
即15（t﹣3）＝30，
解得t＝5；
综上，t或5．
25．（14分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，点P是直线CD上一点．
（1）请利用尺规作图：过点P作直线AB的平行线MN（点M在直线CD的左侧，点N在直线CD的右侧）．
（2）在（1）条件下，OE平分∠AOP，PF平分∠MPO，PF与OE相交于点G，已知OG＝3，PG＝4，OP＝5，求点G到直线CD的距离．
（3）在（1）条件下，点H在射线PN上，过点H作HI∥CD交直线AB于点I，则可得PH＝OI．连接PI，点J在线段HI上且满足，连接PJ并延长交直线AB于点K，若△PJH与△IJK面积之和为13，求△POK的面积．
解：（1）直线MN即为所求．
（2）过点G作GH⊥CD于H，如图，
∵MN∥AB，
∴∠MPO+∠AOP＝180°，
∵OE平分∠AOP，PF平分∠MPO，
∴∠EOP∠AOP，∠FPO∠MPO，
∴∠EOP+∠FPO（∠MPO+∠AOP）180°＝90°，
∴∠PGO＝90°，
∵OG＝3，PG＝4，OP＝5，
∴5×GH3×4，
∴GH，
∴点G到直线CD的距离为．
（3）连接OH，OJ，HK，如图，
∵IH∥OP，
∴，S△OIJ＝S△PIJ，S△PJH＝S△OJH，
设S△OIJ＝2x＝S△PIJ，则S△OJH＝3x＝S△PJH，
∵MN∥AB，
∴S△PJH+S△PIJ＝S△PJH+S△KJH，
∴S△KJH＝S△PIJ＝2x，
∴，
∴，
∴，
∴S△IJKS△PIJx，
∵△PJH与△IJK面积之和为13，
∴3xx＝13，
解得：x＝3，
∵S△POI＝S△OHI＝S△OIJ+S△OJH＝2x+3x＝5x，
∴S△POK＝S△POI+S△PIJ+S△IJK＝5x+2xxx3＝25．

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