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贵州贵阳市七校2025-2026学年高二下学期5月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．的展开式中，的系数为（ ）
A． B．9 C． D．1
5．已知双曲线：的右焦点为，过原点的直线交于两点，且．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上的大致图象如图所示，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆与圆交于A、B两点，且平分圆的周长，则 的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．已知函数及其导函数的定义域为，记．若、均为奇函数，当时，，且，则（ ）
A．3 B．－1 C．－5 D．7
二、多选题
9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，（为锐角），，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为 B． C． D．
10．设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则（ ）
A． B．
C．为等腰三角形 D．以MN为直径的圆与l相切
11．如图，棱长为2的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则三棱锥的体积为定值
B．若，则动点所围成的图形的面积为
C．若，则的最小值为2
D．若，过有且仅有3条直线与直线所成角为
三、填空题
12．曲线在点处的切线方程为______．
13．在平面直角坐标系xOy中，将向量绕点逆时针旋转得到，若，则点A的横坐标为______．
14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行一轮比赛，在这轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人获胜，则甲获胜的概率为______；若甲选出数字3且赢时记3分，甲选出数字5且赢记2分，甲选出数字7且赢时记1分，甲输掉比赛记作0分，则甲最终得分的期望为______．
四、解答题
15．已知正项数列中，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若，证明：．
16．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
17．为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下：
①每位参赛学生参加5轮答题比赛；
②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分；
③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票．
从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会．
(1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望；
(2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？
18．如图，已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点（点在第一象限）．当时，在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．

(1)求的标准方程；
(2)若轴于点，连接BM并延长交于点，记直线的斜率为．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）设，求的取值范围．
19．已知函数，其中．
(1)当时，讨论在上的单调性；
(2)过原点作曲线的切线，切点横坐标从小到大依次为， ．
①证明：满足方程；其中；
②记为的第个极值点，，判断数列的单调性，并求最小的正整数，使得对一切恒成立．
《贵州贵阳市七校2025-2026学年高二下学期5月联考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A B C C A BCD AD
题号 11
答案 AD
1．B
2．C
3．C
4．A
5．B
6．C
7．C
8．A
9．BCD
10．AD
11．AD
12．
13．
14．
15．(1)
(2)证明：因为，
所以，
所以．
因为，所以，
因为数列单调递增，所以，
所以．
16．(1)证明：如图，取的中点为，连接，，
三棱柱中，四边形为平行四边形，所以，，
又，为中点，所以，，所以，
因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以.
而平面，平面，所以平面.
因为，为中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
而，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
(2)
17．(1)
1 2 3 4
(2)获得张或张的概率最大，最大概率为
18．(1)
(2)（ⅰ）如图，设，，

则，由题意有．
直线的斜率，即的斜率为，
所以直线的方程，所以．
又在椭圆上，．
．
（ⅱ）．
19．(1)时，单调递增；当时，单调递减．
(2)①证明：设切点为 ，切线过原点，故 ．
代入， ，得 ，
整理得 ．
若，则左边为0，右边 ，矛盾，故，
两边除以： ，因此每个切点横坐标满足．
②单调递增，．

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