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湖南株洲市部分校2025-2026学年高二下学期期末联合考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
2．在中，M，N分别是边BC，AC的中点，线段AM，BN交于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数的最小值为，则正实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
8．已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（ ）
A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
二、多选题
9．已知复数，下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．的共轭复数为
C．在复平面内所对应的点位于第二象限 D．
10．已知正方体的棱长为为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为线段上的动点，则与所成的范围为
B．若为侧面上的动点，且满足 平面，则点的轨迹的长度为
C．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为
D．若为侧面上的动点，则存在点满足
11．设为坐标原点，已知对任意实数，直线与圆都有两个交点，，则（ ）
A．直线过定点
B．
C．当时，的最小值为
D．当时，
三、填空题
12．三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______.
13．已知函数在区间上单调递减，则___________.
14．已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，则实数的取值范围为___________．
四、解答题
15．如图，在直三棱柱中，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面之间的距离.
16．已知的内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若为边上一点，，求.
17．某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立．
(1)求甲以获胜的概率；
(2)设比赛场数为．试求的分布列及数学期望；
(3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？
18．已知双曲线，离心率为，左、右顶点分别为A，B，，渐近线为，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点（点M在点N上方），直线l与交于点P.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求与面积之和的最小值，并求出此时直线l的方程；
(3)在（2）的条件下，过点M，N分别作渐近线的平行线，两平行线交于点，过点作直线l的平行线与双曲线C交于点（点在点上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，求证：为定值，.
19．已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ．
(1)设，求集合；
(2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件；
(3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围．
《湖南株洲市部分校2025-2026学年高二下学期期末联合考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C B A B B BCD BC
题号 11
答案 BC
1．B
2．C
3．C
4．C
5．B
6．A
7．B
8．B
9．BCD
10．BC
11．BC
12．3
13．2
14．
15．（1）证明见解析；（2）.
16．(1)
(2)
17．(1)
(2)的概率分布列为：
3 4 5
，
(3)甲应该采用“五局三胜制”．
18．(1)
(2)
(3)设斜率为，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中，
联立方程，消去可得，
该方程有两个正根，则，解得，
直线的方程为，而，即，
直线的方程为，而，即，
联立方程，解得，
即，，又，
则，
，
所以，设，则直线方程为，
即，则，，
而，
，
所以，为定值.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)

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