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天津市滨海新区经济技术开发区第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互为对立事件 B．
C．与相等 D．与互斥
3．中国运动员谷爱凌在2022北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中以188.25分夺得金牌．自由式滑雪大跳台比赛一般有资格赛和决赛两个阶段，比赛规定：资格赛前12名进入决赛．在某次自由式滑雪大跳台比赛中，24位参加资格赛选手的成绩各不相同．如果选手甲知道了自己的成绩后，则他可根据其他23位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛（ ）
A．中位数 B．极差 C．平均数 D．方差
4．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
5．已知向量，满足，，且，则（ ）
A． B．4 C．5 D．
6．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．αβ，mα，则mβ
B．m α，n α，mβ，nβ，则αβ
C．m⊥n，m⊥α，nβ，则α⊥β
D．m⊥α，mn，αβ，则n⊥β
7．已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知事件A与B相互独立，，则（ ）
A．0.58 B．0.12 C．0.7 D．0.88
9．若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，方差为4，乙组样本数据，，，的平均数为5，则下列说法错误的是（ ）
A．a的值为1 B．两组样本数据的样本极差不同
C．两组样本数据的样本中位数一定相同 D．乙组样本数据的标准差为4
10．如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7
11．已知向量满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
二、填空题
13．化简________．
14．某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为______．
15．如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．
16．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________.
17．若，且，则的最小值是__________.
18．在直角梯形中，已知，，，点F是边的中点，点是线段上一个动点．则的取值范围是________．
三、解答题
19．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.
(1)求实数的值；
(2)设复数，求；
(3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
20．为了减轻流感对师生身体健康的影响，某学校建议师生进出学校佩戴口罩，现将该学校1000名师生一周的口罩使用数量统计成下表，其中每周的口罩使用数量在6只以上（包含6只）的有700人．
口罩使用数量/只
频率 0.2 0.3 0.1
(1)求m，n的值，根据表中数据，完成上面的频率分布直方图（不要求写出过程，画图即可）．
(2)根据频率分布直方图估计该学校师生一周口罩使用数量的75%分位数和平均数（每组数据用每组中间值代替）．
(3)按分层抽样的方法在前三组中抽取一个容量为6的样本，从这6人中随机抽取2人检查其口罩使用情况记为事件，请列出事件的样本空间，并求这2人恰好来自同一组的概率．
21．如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，，、分别为棱、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
22．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，．
①求的面积；
②若，求．
《天津市滨海新区经济技术开发区第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末检测数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D A D D A C D
题号 11 12
答案 D B
1．C
2．B
3．A
4．D
5．A
6．D
7．D
8．A
9．C
10．D
11．D
12．B
13．
14．
15．
/
16．/
17．/
18．
19．(1)
(2)
(3)
20．(1)；
(2)只，只
(3)记第一组抽取的2人为．第二组抽取的1人为，第三组抽取的3人为，
，
这两人恰好来自同一组的概率为.
21．(1)取中点，连接、，
因为为棱的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
又底面为菱形，为棱的中点，为的中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又平面，平面，且，
所以平面平面，
又平面，所以平面；
(2)因为为正三角形，为棱的中点，所以，
又四边形是菱形，，所以为正三角形，
又为棱的中点，所以，
又平面，平面，且，
所以平面，
又由（1）得平面平面，所以平面，
又平面，所以，
又四边形是菱形，，所以，
又为正三角形，四边形是菱形，所以，
又为的中点，所以，
又平面，平面，且，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
22．(1)
(2)①；②.

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