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陕西西安高级中学2025-2026学年高二下学期7月期末监测
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数，函数图象的一个对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（ ）

A．在区间上单调递增 B．在处取得极大值
C．有3个极值点 D．
5．为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　）
A．282 B．228
C．283 D．229
6．设函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
8．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为的等边三角形，若点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（ ）

A．
B．长为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为
10．抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．三角形ABC面积的最小值为3 D．的最小值为
11．已知数列满足，且对任意正整数，以的概率取，以的概率取，各次选择相互独立．记为使得的最小下标（），则（ ）
A． B．，
C．当为奇数时， D．对于任意正整数，
三、填空题
12．已知实数，满足，则的最大值为_____．
13．在锐角三角形中，，则______________.
14．在等差数列中，公差，前项和为.若，则________.
四、解答题
15．记的内角，，的对边分别为，，.向量，，.
(1)求；
(2)若，，，用，表示向量，并求的周长.
16．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的最小值；
(3)求证：对任意的，都有．
17．在展销会上，某企业的展示台将（）件使用环保材料的新产品，（，）件使用非环保材料的旧产品放置在同一排，所有排列结果等可能，从左至右依次编号为1号展柜，2号展柜，……，号展柜.
(1)若，.
（i）求5号展柜内放的是新产品的概率；
（ii）用表示最右边的新产品所在展柜编号，求的数学期望.
(2)若表示最右边的新产品所在展柜编号的倒数，证明：.
18．平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的标准方程；
(2)按照如下方法依次构造点列（其中）：设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线于曲线交与另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点．
（i）求证：数列和均为等比数列；
（ii）记的面积为，当时，求证：．
19．已知函数．设为原点，动点在曲线上．
(1)求函数的最小值；
(2)求证：直线的斜率大于1；
(3)过点作直线的垂线，垂足为，当时，取得最小值；当时，取得最小值．求证：．
《陕西西安高级中学2025-2026学年高二下学期7月期末监测数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D A D C D ACD ABD
题号 11
答案 BCD
1．D
2．B
3．D
4．D
5．A
6．D
7．C
8．D
9．ACD
10．ABD
11．BCD
12．2
13．
14．14
15．(1)
(2)，的周长为
16．(1)
(2)
(3)因为，
则当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
则，
又，且时，故，
欲证对任意的，都有，
只需证对任意的，都有，
只需证对任意的，都有，
令，，则，
则在上单调递减，则，命题得证.
17．(1)（i）（ii）
(2)由题意随机变量的取值为（从取到），且，
则的期望为，
所以
.
18．(1)
(2)（i）过且斜率为的直线方程为：，
将代入得，即，
则，①，
设直线的方程为，
将代入得，即，
则，可得②，
同理，由，可得③，
则直线的斜率，
直线的方程为：，
即，
代入，解得（*），
将②③代入，结合①可得，
代入（*）式子，得到，
由于，，，满足，则，
，
则是以1为首项，4为公比的等比数列，
是以2为首项，4为公比的等比数列．
（ii）由（ⅰ）可得，，，，
，
，，，
代入得，化简得，
则是首项为1，公比为2的等比数列，故．
，
其中，
，
，
，
由于，
，
所以
，综上得证．
19．(1)3
(2)依题意，，直线的斜率，
不等式，令函数，
求导得，由（1）得在上单调递增，
而，则存在，使得，，
当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，，
令函数，求导得，
函数在上单调递减，，则，
所以，即直线的斜率大于1.
(3)由垂直于直线于点，得直线方程为，
则点，，
由（2）得，
函数在处取得最小值，因此当时，取得最小值，，
令函数，求导得，
由（1）得在上单调递增，，
则存在，使得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，
因此当时，取得最小值，，于是，
所以.

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