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天津市五区县重点校2025-2026学年第二学期期末联考高一
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在中，内角的对边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．或
3．边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．4
4．设m，n表示两条不重合的直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，，则
5．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ）
A．面积为12的矩形 B．面积为的菱形
C．面积为24的矩形 D．面积为的菱形
6．下列说法错误的是（ ）
A．5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件
B．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为
C．数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4
D．某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生
7．已知，，是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则以下列结论正确的个数是（ ）
①直线与直线AF垂直
②直线与平面AEF平行
③点G与点C到平面AEF的距离相等
④平面AEF截正方体所得的截面周长为
⑤三棱锥的体积为定值
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．已知复数，则z的模是______．
10．某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，其中核心区与开发区共有2800人，从所有人员中按照各区采用分层抽样的方法抽取45人进行调研．其中已知从远郊区抽取10人，则远郊区的人数为______．
11．向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为______.（用向量表示）
12．世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为，甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立．则乙能被录用的概率为______，甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率为______．
13．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将沿直线AC折起至处，使得点P在平面ABC上的投影在直线AE上，若三棱锥外接球的体积为，则三棱锥的体积为______．
14．已知平面四边形满足，且，为的中点，则__________，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为__________.
三、解答题
15．已知平面向量，，，且，．
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
16．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，．
(1)求角的大小；
(2)求的面积；
(3)求的值．
17．（请用几何法作答此题）如图，在正三棱柱中，，D为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积．
18．2026年5月25日至5月31日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数．
(3)若规定成绩在为“良好”等级，成绩在为“优秀”等级，由（2）知被抽取的27名学生中有6名男生，其中4名成绩为“良好”等级，2名成绩为“优秀”等级，随机选取2人进行访谈，求抽到的2人成绩等级相同的概率．
19．（请用几何法作答此题）如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
《天津市五区县重点校2025-2026学年第二学期期末联考高一数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C D C A C
1．B
2．D
3．A
4．C
5．D
6．C
7．A
8．C
9．
10．800
11．
12．
13．
14．
15．(1)或
(2)
16．(1)
(2)
(3)
17．(1)法一：证明：连接交于点，连接，
在正三棱柱中，四边形为矩形，所以为中点，
又因为为中点，所以，又，
所以.
法二：证明：取的中点，连接，
由 ，得四边形为平行四边形，所以 .
由， ，
得四边形为平行四边形，所以 .
因为平面，平面，
所以平面.
同理可得， 平面.
因为平面，
所以平面平面.
又平面，所以平面；
(2).
(3)
18．(1)
(2)6
(3)
19．(1)证明：因为底面为菱形，交于点，
所以为,的中点．
因为为等边三角形，所以，所以．
又，所以，，
又平面，所以平面；
(2)2
(3)

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