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2025-2026学年湖南省岳阳市平江县高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|x+1＞0}，集合B={-1，0，1，2}，则A∩B=（　　）
A. {0，1，2} B. {-1，0，1，2} C. {1，2} D. {2}
2.若空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l1∥l4，则下面结论正确的是（　　）
A. l3⊥l4 B. l3∥l4
C. l3，l4既不垂直也不平行 D. l3，l4的位置关系不确定
3.使式子log（2x-1）（2-x）有意义的x的取值范围是（　　）
A. x＞2 B. x＜2
C. ＜x＜2 D. ＜x＜2，且x≠1
4.已知，β是第三象限角，则的值为（　　）
A. B. C. D.
5.等边三角形ABC的边长为1，如果，，，那么等于（　　）
A. - B. C. - D.
6.一个圆锥的高是，侧面积是2π，则该圆锥轴截面的周长为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.某单位职工进行了体检，其中体重（单位：kg）体检结果统计如下表格：
男性 女性 单位职工
人数 30 18 48
平均数 64 56 n
方差 151 m 169
则m=（　　）
A. 157 B. 159 C. 162 D. 165
8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，2a+b=4，若M是AC的中点，则BM的最小值为（　　）
A. B. 1 C. D. 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R），则下列结论正确的是（　　）
A. 当a=0时，z为纯虚数 B. z2一定是实数
C. |z|的最小值为2 D. z在复平面内对应点的轨迹是圆
10.已知向量，，满足，，，则（　　）
A. B. 当时，4m+n=1
C. 当时，m+2n=2 D. 在上的投影向量的坐标为
11.在体积为的正四棱锥P-ABCD中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（　　）
A. B. 二面角P-CD-A的余弦值为
C. 正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为9π D. 直线BC与平面PCD所成角的正切值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是 .
13.已知x＞0，则的最大值为 .
14.若为偶函数，则a= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，，设.
（1）用表示；
（2）若AB=3，AC=2，∠CAB=60°，则当CD⊥EF时，求λ的值.
16.(本小题15分)
中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在[15，65]内），按照[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），[55，65]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求m的值；
（2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在[35，65]内的人数；
（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）.
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD中，△PBD为正三角形，AB=AD=2BC=2，BC∥AD，AB⊥AD，M为线段PD的中点.
（1）在平面PCD内，找到过M点与平面PAB平行的直线并证明；
（2）若PA=2，证明：平面PAB⊥平面PBC.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,sin2B+sin2C=sin2A+.
（1）求A；
（2）若△ABC外接圆的面积为2π，求△ABC面积的最大值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-k e-x是偶函数.
（1）求k的值；
（2）设函数g（x）=a[f（x）-2e-x]-f（2x）-8，若不等式g（x）＜0对任意的x∈（1，+∞）恒成立.求实数a的取值范围；
（3）设h（x）=log2f（x），当m为何值时，关于x的方程[h（x）-1+m] [h（x）-1-4m]+2m2+m=0有实根？
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】BC
11.【答案】BCD
12.【答案】19
13.【答案】
14.【答案】2
15.【答案】解：（1）因为，
设．
则，．
（2）当CD⊥EF时，，
即，
因为，
所以，
故．
16.【答案】0.015；
300；
37.5
17.【答案】如图，连接MC，直线MC即为所求直线，
证明：取PA的中点E，连接ME，则ME∥AD，，
因为BC∥AD，，
所以BC∥ME，BC=ME，
所以四边形BCME为平行四边形，
所以BE∥MC，
因为BE 平面PAB，MC 平面PAB，
所以MC∥平面PAB
证明：由AB⊥AD，且，得BD=4，
又△PBD为正三角形，则PB=PD=BD=4，
又，，
因为PA2=AB2+PB2，所以AB⊥PB，
而AB⊥AD，BC∥AD，所以AB⊥BC，
因为PB∩BC=B，PB，BC 平面PBC，
所以直线AB⊥平面PBC，
因为AB 平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PBC
18.【答案】；
．
19.【答案】-1 （-∞，0]∪[，+∞）
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