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2025-2026学年广东省深圳市实验学校光明部高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若（1-2i）（a+6i）∈R，则实数a等于（　　）
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
2.已知，，，则的值为（　　）
A. 25 B. 7 C. 5 D. 1
3.已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，则△ABC最大的内角为（　　）
A. 105° B. 120° C. 135° D. 150°
4.下列命题中正确的个数是（　　）
①如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0
②已知样本数据5，6，6，7，7，8，11，13，则该组数据的60%分位数为7
③已知数据x1，x2，…，xn的平均数为2，则数据2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数为7
④已知数据x1，x2，…，x10的平均数，方差s2=3，若把x3=7剔除，则剩余这9个数的方差不变
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.已知A，B为两个随机事件，P（A）=0.2，P（B）=0.5，则下列结论错误的是（　　）
A. 若A B，则P（A∪B）=0.5 B. 若A，B独立，则P（AB）=0.1
C. 若A，B独立，则P（A∪B）=0.7 D. 若A，B互斥，则P（A∪B）=0.7
6.已知a,b是两条不同的直线，平面α，β满足α∩β=b,则下列说法正确的是（　　）
A. 若a∥α，则a,b共面
B. 若a⊥α，则a与β有公共点
C. 若a与β无公共点，且，则α⊥β
D. 若存在平面γ，使得a⊥γ，b⊥γ，a β，则a∥α
7.一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在A处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为30°，向前行驶60米到达B处时又测得楼阁屋顶仰角为60°，继续向前行驶60米到达C处时再次测得楼阁屋顶仰角为45°.则该楼阁的高度OP=（　　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC翻折，得到三棱锥D′-ABC，当三棱锥D′-ABC的体积最大时，则三棱锥D′-ABC的内切球的半径为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z=3-4i（i为虚数单位），则下列说法正确的是（　　）
A. |z|=5
B. 复数的虚部为
C. 若z对应的向量为，1+i对应的向量为，则向量对应的复数为-2+5i
D. 若复数z是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的一个根，则p+q=19
10.设△ABC内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列条件能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A. acosA=bcosB B. asinB=bsinC C. bcosC+ccosA=b D. c=2acosB
11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，F是线段A1B1的中点，则（　　）
A. 存在点P使得AP⊥A1C
B. 若点P满足AP⊥BF，则动点P的轨迹长度为
C. 若点P满足PF∥平面A1C1D时，动点P的轨迹是正六边形
D. 当点P在侧面B1BCC1，且满足时，二面角A-CD-P的最大角的正切值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从1，2，3，4这4个数中随机选取3个不同的数，则这3个数的中位数为3的概率为 .
13.在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中AC=BC，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为 .
14.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求B；
（2）若a=2c,，求△ABC的面积.
16.(本小题15分)
已知为平面向量，且.
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，且，求实数k的值.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA=AB=AD=2，∠PAB=∠DAB=120°，M为PB中点.
（1）求证：PD∥平面ACM；
（2）若平面DAB⊥平面PAB，求PD到平面ACM的距离；
（3）若三棱锥P-ABC外接球半径为2，求直线PD和平面PAC所成角的余弦值.
18.(本小题17分)
从某高中高二年级学生的物理期末成绩（满分为100分）中抽取一个样本量为100的样本，成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求出图中A的值并估计该校高二学生的物理平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）年级计划给成绩排名前25%的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数线；
（3）在[50，60）和[90，100]的学生成绩中，随机抽取两个学生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率.
19.(本小题17分)
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P处的离散曲率为，其中Qi（i=1，2， ，k,k≥3）为多面体Γ的所有与点P相邻的点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3， ，平面Qk-1PQk，平面QkPQ1为多面体Γ的所有以P为公共点的面.已知平面多边形ABCDE的外接圆圆心O为AD与BE的交点，如图①，且AB=AE=，将△EAD沿AD翻折到△PAD如图②，连接PB，PC.
（1）求四棱锥P-ABCD在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）已知直线PB与直线CD所成角的余弦值为.
①求四棱锥P-ABCD在顶点A处的离散曲率；
②设Q为线段PD上的动点（不包括端点），QA与平面ABCD所成角为α，二面角Q-AC-D的平面角为β，其中，求tan（β-α）的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ABCD
10.【答案】BD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】（-1，1）
15.【答案】

16.【答案】（-4，2）或（4，-2） k=1或k=-4
17.【答案】设AC∩BD=O，连接OM，
∵四边形ABCD为菱形，
∴O为BD的中点，
在△PBD中，因为 M为PB的中点，
∴OM为△PBD的中位线，
∴MO∥PD，
又∵MO 平面ACM，PD 平面ACM，
∴PD∥平面ACM
18.【答案】A=0.030；71分 82分
19.【答案】2；
①；②
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