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2025-2026学年广东省深圳市罗湖区高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知a,b∈R，若ab＜0，且a＞b,则z=a+bi在复平面内所对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，则=（　　）
A. B. 2 C. 3 D. 4
3.下表为“某地区2020-2025年的生产总值（GDP）”相关数据（其中该地区生产总值是逐年递增的）.
年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年
生产总值（GDP）/万亿元 2.780 3.070 3.240 ■ 3.730 3.870
由于不小心，该地区的2023年生产总值（GDP）数据被污染了，但知道表中数据的第60百分位数与第75百分位数之和为7.190，则该地区的2023年生产总值（GDP）为（　　）
A. 3.680 B. 3.460 C. 3.705 D. 3.550
4.已知向量，，且，则下列等式一定成立的为（　　）
A. m=2n B. m=-2n C. mn=2 D. mn=-2
5.甲、乙两人各进行一次射击，已知两人各自中靶的概率分别为和，若两人是否中靶相互独立，则恰有一人中靶的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.已知某圆台的母线与下底面所成的角为，若其上、下底面的半径分别为1，2，则该圆台的侧面积为（　　）
A. B. C. 3π D. 6π
7.已知△ABC的面积为，且AC=2，若，则tanB=（　　）
A. B. C. D.
8.底面边长为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去了一个底面边长为1，高为的正三棱锥后，若所得三棱台的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A. 3π B. C. 5π D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，则下列说法正确的为（　　）
A. 若x=0，则 B. 若，则x=0
C. 若， D. 若，则
10.已知α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列说法正确的为（　　）
A. 若m α，m∥n,则n∥α B. 若m⊥β，n∥β，则m⊥n
C. 若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n D. 若α∩β=m,n⊥m,则n⊥α，或n⊥β
11.抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，记x,y分别为抛出的第一枚和第二枚骰子正面朝上的点数，设事件“x,y中至少有一个为偶数”为A，事件“x,y中至少有一个为奇数”为B，事件“x=y”为C，事件“x＞y”为D，则（　　）
A. A∩B与C是互斥事件 B. A与B相互独立
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知z=i（1+i），为z的共轭复数，则= .
13.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 .
14.记△ABC的外接圆圆心为O，若圆O的半径为2，且，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知asinB=bsin2A.
（1）求A；
（2）已知点D为BC的中点，若，且△ABC的面积为，求a.
16.(本小题15分)
如图，已知五面体ABCDEF的底面ABCD是正方形，平面BCF⊥平面ABCD，FB=FC=BC=2.
（1）求证：EF⊥平面BCF；
（2）求直线AF与平面ABCD所成角的正切值.
17.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BM⊥AC.
（1）若BM=1，求的值；
（2）设BC=3，BD=4，，.
①用，表示；
②求x+y的值.
18.(本小题17分)
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，且AB=AC=2AA1，动点P，Q分别在线段A1B，AC1上，且.
（1）证明：PQ∥平面BCC1B1；
（2）若，且AB=6，求多面体ABCQP的体积.
19.(本小题17分)
给定两组数据M=（x1，x2，…，xn）和N=（y1，y2，…，yn），现定义为这组数据的“总体偏差”.现有数据A=（1，2，…，n）（n∈N*），将A中数据按任意顺序排列，得到数据B=（x1，x2，…，xn），例如，当n=2时，可以得到数据（1，2）和（2，1），此时总体偏差C2的所有可能取值为0和2.
（1）当n=3时，求C3的所有可能取值；
（2）当n=4时，求“C4＞3”的概率；
（3）记“Cn=3”为事件E，证明：事件E为不可能事件.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】8+4
15.【答案】

16.【答案】证明：由正方形ABCD的性质知，AB∥CD，
∵AB∥CD，AB 平面DCFE，CD 平面DCFE，
∴AB∥平面DCFE，
∵AB∥平面DCFE，AB 平面ABFE，平面ABFE∩平面DCFE=EF，
∴AB∥EF
∵平面BCF⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
平面BCF∩平面ABCD=BC，且AB⊥BC，
∴AB⊥平面BCF，
又∵AB∥EF，
∴EF⊥平面BCF

17.【答案】2
①；②
18.【答案】证明：如图，在线段AC，AB上分别取点M，N，
使得，连接MQ，NP，MN，
∴△AMQ∽△ACC1，△BNP∽△BAA1，△AMN∽△ACB，
∴MQ∥CC1，NP∥AA1，MN∥BC，
又AA1∥CC1，
∴MQ∥NP，
∴M，N，P，Q四点共面，
∵MN∥BC，MN 平面BCC1B1，
∴MN∥平面BCC1B1，
∵MQ∥CC1，MQ 平面BCC1B1，
∴MQ∥平面BCC1B1，
又MN∩MQ=M，
∴平面MNPQ∥平面BCC1B1，
又PQ 平面MNPQ，
∴PQ∥平面BCC1B1．
14
19.【答案】C3的所有可能取值为0，2，4
A=（1，2，…，n），
①若只调整2个数，其他不变得到数据B，
即将数据（a，b）（a＜b）调整为（b，a），其余数据在原来位置不变，
此时Cn=|b-a|+|a-b|=2（b-a）≠3，
②当n≥3时，若调整3个数，其他不变得到数据B，
即将数据（a，b，c）（a＜b＜c）调整为（b，c，a）和（c，a，b），其余数据在原来位置不变，
此时Cn=|b-a|+|c-b|+|a-c|=2（c-a）≠3，
或者Cn=|c-a|+|a-b|+|b-c|=2（c-a）≠3，
③当n≥4时，若调整4个数，其他不变得到数据B，显然Cn＞3，
综上所述，事件E为不可能事件
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