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江西吉安市2025-2026学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知，，则tanα的值为（　　）
A. B. C. D.
3.在平行四边形ABCD中,点E是对角线BD上靠近点D的三等分点,设=,=,则=( )
A. + B. - C. + D. -
4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.内角，，对应边分别是，，，若，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知是关于的方程的一个根，则实数（ ）
A. B. C. D.
7.打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. 的实部是 B. 的共轭复数为
C. D.
10.如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，则下列结论正确的为（ ）
A. 直线与是异面直线
B. 正方体的外接球半径为
C. 平面截正方体所得截面图形的周长为
D. 若是线段上的动点，则平面
11.如图放置的边长为2的正方形的顶点，分别在轴的正半轴，轴的非负半轴上滑动，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为 ．
13.已知(+)=，则(-2α)= .
14.如图所示，四面体中，，，分别是，的中点，用一个与直线垂直且与四面体的各个面都相交的平面去截该四面体，得到一个多边形截面，则该多边形的周长是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，
(1)设，若，求实数u的值；
(2)若与共线，求实数的值．
16.(本小题15分)
函数（，）的部分图象如图所示
(1)求函数的解析式；
(2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集．
17.(本小题15分)
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且．
(1)求a；
(2)若，求的面积．
18.(本小题17分)
如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，．
(1)证明：平面；
(2)设点为的中点，点在上．
（ⅰ）判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由；
（ⅱ）当的面积最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知函数，其中为实数．
(1)若为偶函数，求的值．
(2)当时，求函数在区间的值域．
(3)已知为正整数，若函数在内恰好有2025个零点，求和的值．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】BCD
11.【答案】CD
12.【答案】6
13.【答案】-
14.【答案】4
15.【答案】解：（1），
，得，得
（2）与共线，且与不共线，
，，

得：．

16.【答案】解：（1）由函数的图象，得，
的最小正周期，
由，得，由，得，而，则，
所以函数的解析式为.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得，
再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得，
由，得，则，，
所以不等式的解集为．

17.【答案】解：（1），
由正弦定理得，，
，
又，，，
所以．
，，
因为，所以，故，解得，
外接圆的半径为，由正弦定理得，
（2），故，
解得：，
.

18.【答案】解：(1)因为底面四边形中，，，，，
所以四边形为直角梯形，且，
所以，即，
因为侧棱底面，底面，所以，
且，平面，平面．
所以平面
(2)（ⅰ）是定值，为，理由如下：
连接，因为侧棱底面，，，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，
在四棱柱中，，，
因为，，，点为的中点，
则，，即四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
可得，
所以三棱锥的体积为定值．
（ⅱ）取中点，连接，，
因为，为中点，所以，
在四棱柱中，点为的中点，所以四边形为平行四边形，
因为侧棱底面，所以底面，
又底面，底面，
所以，，
又，平面，平面，
所以底面，又底面，所以
所以是平面与平面所成的二面角的平面角，
因为，
所以的面积最小时，最小，
在中，最小，则，如下图，
由于，，，故，
所以，在中，，
所以当的面积最小时，平面与平面夹角的余弦值为．

19.【答案】解：（1）因为为偶函数，则对恒成立，
则，
可得对恒成立，则.
（2）当时，，
当时，，
令，则，
则，
因为，所以，则，即，
因为，，所以；
当时，，
令，则，
则，
因为，所以，则，即，
因为，，所以；
综上可知，函数的值域为．
（3）因为，
所以是的一个周期，
由（2）可知，当时，，，
令，则，
若，则左边为，右边为，显然不成立，故，则，
因为在上单调递减，所以，
则，且当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有一个根，在上存在两个零点，
当时，有一个根，在上存在一个零点；
当时，，，
令，则，
若，则左边为2，右边为0，显然不成立，故，则，
因为在上单调递增，所以，
则，且当时，，
所以当时，有一个根，在上存在两个零点，
当时，有一个根，在上存在一个零点；
故当时，在一个周期内存在一个零点，
因为，则当时的零点必然在内，
若或，则在一个周期内存在偶数个零点，
所以若函数在内恰好有2025个零点，则；
综上所述：，．

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