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湖北省宜昌市远安县2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，一定是二次根式的是（）．
A. B. C. D.
2.由线段，，组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直; D. 对角线平分对角
5.如图，这是蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果原来蓄水池无水，现以固定的流量向蓄水池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系的是（ ）
A. B.
C. D.
6.有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（）
A. 这组数据的第一四分位数是4
B. 这组数据的中位数是10
C. 这组数据的第三四分位数是15
D. 被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13
7.若，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在菱形中，对角线，相交于点，为的中点，且，则菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
9.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（ ）
A. 13.5尺 B. 14尺 C. 14.5尺 D. 15尺
10.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示小聪根据图象得到下列结论，其中结论不正确的是( )
A.
B. 关于的方程的解为
C. 关于，的方程组的解为
D. 关于的不等式的解为
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.若在实数范围内有意义，则的值可以是 （写出一个即可）
12.学校准备从甲、乙、丙、丁四名优秀选手中选一名参加全区安全知识竞赛，该校预先对这名选手进行三轮预赛选拔，他们成绩的平均数与方差统计如下表：根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的选手参赛，应该选择 ．
参赛选手 甲 乙 丙 丁
平均数/分
方差
13.已知点，都在直线上，则、的大小关系是 ．（用“”连接）
14.如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.计算：
(1)
(2)
四、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
(1) 如图，矩形ABCD，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且，连接BF，DE．若，，则（1）BD的值是 ；
(2) 的最小值是 ．
17.(本小题8分)
如图，在中，对角线与相交于点O，点M，N在对角线上，且．求证：．
18.(本小题8分)
如图，直线与坐标轴交于，两点，直线与坐标轴交于C，D两点，交直线于点E．
(1) 求直线的函数解析式；
(2) 求点E的坐标及的面积．
19.(本小题8分)
王大伯承包了一个鱼塘，投放了条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
(1) 填空：这条鱼质量的中位数是 ，众数是 ．
(2) 求这条鱼质量的平均数；
(3) 经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克元，请利用这个样本的平均数，估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？
20.(本小题8分)
问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空．
(1) 例：已知，求的值．解：由得， ， ， ；
(2) 尝试应用：若x，y为实数，且，化简： ；
(3) 拓展创新：已知，求的值．
21.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是．
(1) ， ， ；
(2) 判断是不是直角三角形，并说明理由．
22.(本小题8分)
一家航模店购进30个“神舟”模型和20个“天宫”模型需要9000元，购进50个“神舟”模型和40个“天宫”模型需要16000元．
(1) 求每个“神舟”模型和每个“天宫”模型的进价；
(2) 已知每个“神舟”模型的售价为260元，每个“天宫”模型的售价为200元．该店计划购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的4倍，且航模店购进总金额不超过35000元．设购进“神舟”模型x个，销售这批模型的利润为w元．
①求利润w（元）关于x（个）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
②求利润的最大值．
23.(本小题8分)
如图，已知正方形边长为2，点P是对角线上一点．
(1) 过点P作于E，于F，求证：四边形为正方形；
(2) 在（1）的基础上，过点P作，交射线于点Q．
①当点Q在边上时，求证：；
②当以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为时，请求出的长．
24.(本小题8分)
定义：一次函数是一次函数的“3倍函数”．已知直线的函数解析式为，直线是直线的“3倍函数”．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与y轴交于点C．
(1) 请直接写出的函数解析式和A，B的坐标．
(2) 在x轴上有一动点，且，过点E作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点P，Q．若，求a的值．
(3) 若D是y轴上一个动点，当时，求直线的函数解析式．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】/（答案不唯一）
12.【答案】甲
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】【小题1】
原式；
【小题2】
原式．

16.【答案】【小题1】

【小题2】


17.【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴．

18.【答案】【小题1】
解：∵直线与坐标轴交于，两点，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为．
【小题2】
解：∵直线与直线相交于点E，
∴解方程组，得，
∴点E的坐标为．
对于直线，令，则，解得，
∴点D坐标为，
∵，
∴，
∴．

19.【答案】【小题1】
1.4
1.5
【小题2】
解：（），
这条鱼质量的平均数为；
【小题3】
解：（元），
答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入为元．

20.【答案】【小题1】



【小题2】

【小题3】
解：由题意得，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴，
∴，
∴
．

21.【答案】【小题1】

5
【小题2】
解：是直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
∴是直角三角形．

22.【答案】【小题1】
解：设每个“神舟”模型的进价为a元，每个“天宫”模型的进价为b元，
由题意得，，
解得，
答：每个“神舟”模型的进价为200元，每个“天宫”模型的进价为150元；
【小题2】
解：①由题意得，
，
∵购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的4倍，且航模店购进总金额不超过35000元，
∴，
解得，且x为整数；
∵在中，，
∴w随x的增大而增大，
∵，且x为整数，
∴当时，w有最大值，最大值为，
答：利润的最大值为11000元．

23.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形．
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【小题2】
①证明：由（1）有四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
②解：如图，当点在线段上时，作于，于，
由（1）可得四边形为正方形，由①可得，
∴
∴，
∵以、、、为顶点的四边形的面积为，
∴，即，
∴在中，．
当点在的延长线上时，作于，延长交于，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵以、、、为顶点的四边形的面积为，
∴，
解得，
即，
∴，
∴在中，，
∵在正方形中，，，
∴
∴当点P运动到中点时，，故此情况不存在．
综上所述，的长是．

24.【答案】【小题1】
解：∵直线的函数解析式为，直线是直线的“3倍函数”，
∴直线的函数解析式为．
∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴令，则，解得；
令，则，
∴，．
【小题2】
解：∵对于直线，令，则，
∴，
∵，
∴．
∵过点作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点P，Q，
∴点P，Q的横坐标都为a，
把代入直线，得，
把代入直线，得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
【小题3】
解：若点在轴负半轴上，
∵，，，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∵，
∴，即．
过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，
∴是等腰直角三角形，，，
∴，，，，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵点在第三象限，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴；
若点在轴的正半轴上，设为点，则，
∵，即，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
综上所述，直线的函数解析式为或．

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