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2025-2026学年山东省济南市市中区育英教育集团八年级（下）期末数学模拟试卷（3）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶.下面纹样的示意图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A. x（x-1）=x2-x B. x2-2x+1=（x-1）2
C. x2+3x-4=x（x+3）-4 D.
3.分式的值是零，则x的值为（　　）
A. -3 B. 3 C. 8 D. -8
4.如果2是方程x2-cx+2=0的一个根，那么方程另一个根是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. -1
5.如图，三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度后得到三角形A′B′C′，连接AA′，若四边形ABC′A′的周长是13，则三角形ABC的周长是（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6.如图，平行四边形ABCD与正方形CEFG，其中E点在边AD上.若∠ECD=40°，∠AEF=15°，则∠B的度数为（　　）
A. 75°
B. 65°
C. 55°
D. 45°
7.学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A. x（x+1）=28 B. x（x-1）=28 C. x（x+1）=28 D. x（x-1）=28
8.如图，在边长为6的正方形ABCD中，DE=CF=2，连接DF，AE，G，H分别是AE，DF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A. 2
B.
C.
D. 4
9.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm,BC=8cm,动点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s），对于结论：①当t=5s时，四边形ABMP为矩形；②当t=4s时，四边形CDPM为平行四边形；③当CD=PM时，t=4s或6s；④点P，M在运动中会存在一个时刻，使得S四边形ABMP=S四边形CDPM.正确的有（　　）个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　）
A.
B. 3+3
C. 6+
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.因式分解：4a2-b2= .
12.若关于x的分式方程有增根，则m= .
13.如图，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，且AE=4，连接BE，线段BE的垂直平分线MN恰好经过点C，则矩形的边AB的长为 .
14.《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形得到大正方形的面积为33+16=49，则该方程的正数解为7-4=3.”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m=0，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 .
15.已知，△ABC中，，∠C=60°，D为BC上一点，AC=BD，，则BC的长度为 .
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
16.（1）因式分解：3x3-6x2y+3xy；
（2）计算：.
17.解方程：
（1）；
（2）x2-6x-3=0.
四、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题7分)
先化简：，再从-2、0、1中选一个合适的值代入求值.
19.(本小题8分)
如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，过点C作CF∥ED交AB于点F，DC=DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC=3，CD=5，求AG的长．

20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，2），B（-1，4），C（-4，5），请解答下列问题：
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，-1），请作出△A1B1C1；平移距离=______.
（2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2；C点走过的路程=______.
（3）以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点D的坐标______.
21.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若（x1-1）（x2-1）=11，求k的值.
22.(本小题10分)
三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚.某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共30套分发给员工过节.其中护肤套装比生活用品套装每套贵80元.
（1）若用7500元购买护肤套装与用6000元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格；
（2）在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
23.(本小题10分)
请阅读下列材料：
已知方程x2+x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=，
把x=代入已知方程，得-3=0.
化简，得y2+2y-12=0，故所求方程为y2+2y-12=0，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
（1）已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ______ ；
（2）已知方程2x2-7x+3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为3，-2，求一元二次方程ay2-（2a-b）y+a-b+c=0的两根.
24.(本小题12分)
【方法回顾】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABOC为正方形，直线l经过点A，BE⊥l于点E，CF⊥l于点F，若点A的坐标为，CF=3，求EF的长；
【问题解决】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABOC为菱形，直线l⊥AC于点A交OB于点P，BE⊥AB交l于点E，点F在AP上，且∠ACF=∠BAE，若，EF=2，求点E，F的坐标；
【思维拓展】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABOC为矩形，直线l分∠BAC为1：2两部分，BE⊥l于点E，CF⊥l于点F，若点F的坐标为，直接写出点E的坐标.
25.(本小题12分)
如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD边上的点，连接DE，GF，若DE⊥GF，判断DE与GF之间的数量关系.老师在课堂上给出如下分析：将GF沿AD方向平移到DH，连接CH.根据平移的性质，可判断四边形DGFH是平行四边形，再证明△ADE≌△CDH，得到DE=DH，继而得到DE=GF.
尝试初探：
（1）老师提出该问题的变式问题：将正方形ABCD改为菱形ABCD，∠A=60°，如图2，E，F，G分别是AB，AD，BC边上的点，连接FG与DE交于点M.若∠EMG=60°，猜想DE与FG之间的数量关系，并说明理由；
通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题.
迁移应用：
（2）如图3，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，且AD=CE，AD与CE交于点O，∠AOE=60°，判断AE+CD与AD的大小关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图4，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB边上，过点F作FG⊥AE于点H，交CD边于点G，连接EF，AG.若AB=6，CE=2BE，请直接写出AG+EF的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】（2a+b）（2a-b）
12.【答案】-2
13.【答案】4
14.【答案】4-6
15.【答案】
16.【答案】3x（x2-2xy+y）

17.【答案】x=-1
x1=3+2，x2=3-2
18.【答案】解：
=
=，
∵a≠0，a2-4≠0，a2+a≠0，
解得：a≠0，a≠±2，a≠-1，
∴当a=1时，
原式=
=-2．
19.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC=DE．
∴四边形CDEF是菱形；
（2）解：如图，连接GF，
∵四边形CDEF是菱形，
∴CF=CD=5，
∵BC=3，
∴BF===4，
∴AF=AB-BF=5-4=1，
在△CDG和△CFG中，
，
∴△CDG△CFG（SAS），
∴FG=DG，
∴FG=DG=AD-AG=3-AG，
在Rt△FGA中，根据勾股定理，得
FG2=AF2+AG2，
∴（3-AG）2=12+AG2，
解得AG=．
20.【答案】如图，△A1B1C1即为所求；平移的距离==；
π
（-5，3）或（1，1）或（-3，7）
21.【答案】 k=2
22.【答案】护肤套装的价格为400元，生活用品套装的价格为320元 购买生活用品套装20套，护肤套装10套时，总费用最少
23.【答案】解：（1）设所求方程的根是y,则y=-x,所以x=-y,
把x=-y代入x2+x-2=0，
得y2-y-2=0，
故答案为：y2-y-2=0；
（2）设所求方程的根是y,则y=，
所以x=，
把x=代入方程2x2-7x+3=0，得
2（）2-7 +3=0，
化简，得3y2-7y+2=0；
（3）一元二次方程整理后可得：a（y-1）2+b（y-1）+c=0，
∵令y-1=x,
∴y=x+1，
则方程a（y-1）2+b（y-1）+c=0 的两根比ax2+bx+c=0（a≠0）两根大1，
所以方程a（y-1）2+b（y-1）+c=0 的两根分别是4、-1．
24.【答案】EF=2；
点E，F的坐标分别是，；
点E的坐标是或；理由见解答过程．
25.【答案】（1）DE=FG；理由如下：
四边形ABCD为菱形，且∠A=60°，如图2，沿AD平移线段FG，使点F与点D重合，点G与点G′重合，连接BD，

∴∠C=∠A=60°，
根据平移的性质可得DG′=FG，FG∥DG′，
∴∠EDG′=∠EMG=60°，
∴△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴∠A=∠DBG′=60°，∠ADB=60°，AD=DB，
∴∠ADE+∠BDE=∠BDG′+∠BDE=60°，
∴∠ADE=∠BDG′，
在△ADE与△BDG′中，
，
∴△ADE≌△BDG′（ASA），
∴DE=DG′，
∴DE=FG；
（2）AE+CD＞AD；理由如下：
如图3，沿AB平移线段AD，使点A与点E重合，点D与点D′重合，连接DD′，CD′，

根据平移的性质可得，ED′=AD，ED′∥AD，AE=DD′，
∴∠CED′=∠AOE=60°，
又∵AD=CE，即ED′=CE，
∴△ECD′为等边三角形，
∴ED′=CE=CD′，
在△CDD′中，DD′+CD＞CD′，
∴AE+CD＞AD；
（3）AG+EF的最小值为．理由如下：
如图4，沿AG平移线段AE，使点A与点G重合，点E与点E′重合，连接FE′，EE′，

根据平移的性质可得，GE′=AE，GE′∥AE，EE′=AG，
又∵FG⊥AE，
∴∠AHG=90°，
∴∠FGE′=90°，
∵四边形ABCD为正方形，AB=6，CE=2BE，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
由图1结论可得FG=AE，
∴，
∵AG+EF=EE′+EF，
∴当点F，E，E′共线时，EE′+EF最小，即AG+EF最小，最小值为E′F的长度，
∴在Rt△FGE′中，由勾股定理得，
即AG+EF的最小值为．
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