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2025-2026学年广东省深圳市盐田区高级中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.样本数据2，8，14，16，20的平均数为（　　）
A. 8 B. 9 C. 12 D. 18
2.已知集合U={x|x是小于9的正整数}，A={1，3，5}，则 UA中元素的个数为（　　）
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
3.“0＜a＜1”是“函数f（x）=xa+b在（0，+∞）上单调递增”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A. （1，+∞） B. [4，8） C. （4，8） D. （1，8）
5.函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　）
A. x+sinπx
B. x-sinπx
C. -x+sinπx
D. x sinπx
6.在等差数列{an}中，a1+3a7+a13=16，则3a9-a13的值为（　　）
A. B. 12 C. 24 D. 48
7.已知函数f（x）=ex+m-lnx+m,m∈R，若f（x）≥0恒成立，则m的取值范围为（　　）
A. （-1，+∞） B. [-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞，-1）
8.设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，圆x2+y2=a2-b2与椭圆C在第一象限内的交点为P，延长PF2与椭圆C交于点Q，若|PF2|=2|QF2|，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A. x=1是f（x）的极值点
B. x=-3是f（x）的极大值点
C. f（x）的单调递减区间是[-3，-1]
D. f（0）＞f（1）
10.已知函数f（x）=lgx+lg（π-x），则（　　）
A. f（x）的定义域为（0，π） B. f（x）在（0，π）单调递减
C. y=f（x）的图像关于直线对称 D. f（x）有最大值
11.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”.已知棱台ABCD-A'B'C'D'是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中AB=2A'B'=6，BC=2B'C'=8，则（　　）
A. 该“刍童”的表面积为
B. 该“刍童”中BD⊥平面ACC'A'
C. 该“刍童”外接球的球心到平面ABCD的距离为
D. 该“刍童”侧棱A′A与平面ABCD所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题r：“ x∈（0，+∞），x2＜1”，则r的否定为￢r： .
13.已知，则函数f（x）的解析式为 .
14.设y=f''（x）是y=f′（x）的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象都有对称中心（x0，f（x0）），其中x0满足f''（x0）=0.
（1）函数g（x）=+3x+1的对称中心为 ；
（2）现已知当直线kx-y-k+1=0（k∈R）和h（x）=ax3+bx2+的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）三点时，h（x）的图象在点A，点C处的切线总平行，则过点（b，a）可作h（x）的 条切线.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：
性别 足球 合计
喜欢 不喜欢
男生 30 20 50
女生 10 20 30
合计 40 40 80
（1）依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？
（2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为X，求随机变量X的分布列和期望.
附：，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB=1，BC=CC1=2，.
（1）求证：BB1⊥平面ABC；
（2）若AB⊥BC，D为A1B的中点，求C1D与平面A1BC所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，Sn=nan-n（n-1）.
（1）证明：{an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）求的最大值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=alnx-x2+1.
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为4x-y+b=0，求实数a和b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若a＜0，且对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有|f（x1）-f（x2）|＞|x1-x2|，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点M（2，y0）到焦点的距离为3.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，
（i）当直线l的倾斜角为时，求△AOB的面积；
（ii）直线x=-2分别与直线OA，OB交于点M，N，以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】 x∈（0，+∞），x2≥1
13.【答案】，[0，+∞）
14.【答案】（1，） ； 2
15.【答案】解：（1）零假设为H0：学生对足球的喜欢与性别无关；
根据χ2=≈5.333＞3.841，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，有充分证据推断H0不成立，
即认为学生对足球的喜欢与性别有关；
（2）按照分层抽样，应从喜欢足球的人群中抽取男生：×8=6人，女生：×8=2人，
故X可能的取值为1，2，3，
P（X=1）===，
P（X=2）===，
P（X=3）===，
故分布列如下：
X 1 2 3
P
所以E（X）=1×+2×+3×===2.25．
16.【答案】证明：由题可知AB=1，BC=CC1=2，，
在△ABA1中，，
所以AA1⊥AB，
在三棱柱ABC-A1B1C1中AA1∥BB1，所以BB1⊥AB，
因为平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC=AB，
所以BB1⊥平面ABC；

17.【答案】记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，Sn=nan-n（n-1），
当n≥2且n∈N*时，得Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2），
两式相减得an=Sn-Sn-1=nan-n（n-1）-（n-1）an-1+（n-1）（n-2），
整理得（n-1）an-（n-1）an-1=2（n-1），
因为n≥2时n-1≠0，两边同除以n-1得an-an-1=2，
又a1=2，所以{an}是首项为2、公差为2的等差数列；
18.【答案】（Ⅰ）f（x）=alnx-x2+1，
求导得，
因为，在x=1处的切线方程为4x-y+b=0，
所以，f′（1）=a-2=4，得a=6，4-f（1）+b=0，b=-4．…（4分）
（Ⅱ）
当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．…（6分）
当a＞0时，（舍负）
，，
f（x）在上是增函数，在上是减函数； …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若a＜0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，
不妨设x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），|f（x1）-f（x2）|＞|x1-x2|，
即f（x1）-f（x2）＞x2-x1即f（x1）+x1＞f（x2）+x2，
只要满足g（x）=f（x）+x在（0，+∞）为减函数，…（10分）
g（x）=alnx-x2+1+x,
即a≤2x2-x在（0，+∞）恒成立，…（11分）
a≤（2x2-x）min，
，
所以．…（12分）
19.【答案】y2=4x （i）4；（ii）过定点坐标为（2，0）或（-6，0）
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