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三、带电粒子在匀强磁场中的运动
安培力与洛伦兹力
第一章
高中物理 选择性必修 第二册
必 备 知 识 练
1.关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法中正确的是
(　　)
A. 带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动
B. 静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动
C. 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直
D. 当洛伦兹力的方向和运动方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动
C
【解析】当带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向)时，洛伦兹力为0，带电粒子做匀速直线运动，A错误；静止的带电粒子不受洛伦兹力作用，当也不受其他力作用时，仍将静止，B错误；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力总跟速度方向垂直，C正确；当洛伦兹力方向和运动方向垂直，且带电粒子在匀强磁场中不受其他力作用时，带电粒子才做匀速圆周运动，D错误。
2.如图所示，平行放置的长直导线分别通以等大反向的电流I，一带正电的粒子以一定速度从两导线的正中间射入，图甲中的速度平行于导线方向，图乙中的速度垂直于导线方向。不计粒
子重力，下列说法中，正确的是(　　)
A. 图甲中粒子做匀速直线运动
B. 图乙中粒子做匀速圆周运动
C. 图甲中粒子将向上偏转，且
速度大小保持不变
D. 图乙中粒子做直线运动，且速度先增大后减小
C
【解析】由安培定则可知，图甲中，与两导线共面、平行、等距的直线上磁感应强度垂直于纸面向里，由左手定则可知，带正电的粒子向上偏转，由于洛伦兹力不做功，所以粒子的速度大小不变，A错误，C正确；由安培定则可知，图乙中，两导线连线的中垂线上的磁感应强度水平向右，粒子的速度与磁场方向平行，粒子不受洛伦兹力，所以粒子将做匀速直线运动，速度大小不变，B、D错误。
3.电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列说法中，正确的是
(　　)
A. 速度越大，则周期越大
B. 速度越小，则周期越大
C. 速度方向与磁场方向平行
D. 速度方向与磁场方向垂直
【解析】电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有T＝，可知T与v无关，A、B错误；当v与B平行时，电子不受洛伦兹力作用，不可能做圆周运动，只有当v与B垂直时，电子才能在与v和B都垂直的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，C错误，D正确。
D
4.如图所示，甲、乙两个带电粒子沿着垂直于磁场的方向从某点射入同一匀强磁场中，它们在磁场中的运动轨迹重合，两粒子的质量m乙＝2m甲，两粒子的电荷量q乙＝q甲。它们在磁场中
运动时，大小相等的物理量是(　　)
A. 时间
B. 加速度
C. 动量
D. 动能
C
【解析】两粒子在磁场中的运动轨迹重合，可知两粒子做圆周运动的半径相等，由qvB＝m，可得mv＝qBR，因为q乙＝q甲，m乙＝2m甲，则两粒子的动量p＝mv大小相等；由加速度a＝，可知加速度大小不相等；由动能Ek＝m，可知动能不相等；由周期T＝，可知周期不相等，运动时间不相等，A、B、D错误，C正确。
5.一束带电粒子以同一速度v从同一位置进入匀强磁场，它们在磁场中的轨迹如图所示。若粒子a的轨迹半径为r1，粒子b的轨迹半径为r2，且r2＝2r1，q1、q2分别是它们带的电荷量，m1、m2分别是它们的质量，下列说法中，正确的是
(　　)
A. a带负电、b带正电，＝1∶1　
B. a带正电、b带负电，＝1∶1　
C. a带正电、b带负电，＝2∶1　
D. a带负电、b带正电，＝2∶1　
C
【解析】a向左偏，b向右偏，由左手定则可知，a带正电，b带负电；据洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得比荷，由于v与B均相同，所以比荷之比等于半径的反比，即＝2∶1，C正确。
6.初速度为0的α粒子和质子经过相同的加速电场后，垂直进入同一匀强磁场中并做匀速圆周运动。已知两者质量之比mα∶mH＝4∶1，电荷量之比qα∶qH＝2∶1，则它们在磁场中做匀速圆周运动的半径之比为多少？
【答案】∶1
【解析】α粒子和质子由静止经过相同的电场加速，设加速电场的电压为U，由动能定理得qU＝mv2，解得v＝，它们进入同一匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得r＝正比于，则。
关 键 能 力 练
7.在光滑水平面上，细绳的一端拴一个带正电的小球，小球绕细绳的另一端O沿顺时针方向做匀速圆周运动，水平面处于竖直向下的足够大的匀强磁场中，如图所示(俯视)。当细绳突然
断裂后，下列说法中，正确的是(　　)
A. 小球将偏离圆心O，且速率越来越小
B. 小球将偏离圆心O，且速率保持不变
C. 小球将做匀速圆周运动，运动周期与绳断前
的周期一定相等
D. 小球将做匀速圆周运动，运动半径与绳断前
的半径可能相等
D
【解析】绳未断时，小球沿顺时针方向运动，洛伦兹力与绳的拉力方向相反，有FT－qvB＝m，绳断开后，小球只受到洛伦兹力，洛伦兹力不做功，因此速率保持不变，A错误；绳断开后，小球在洛伦兹力的作用下，沿逆时针方向做匀速圆周运动，有qvB＝m，B错误；当FT－qvB＝qvB时，绳断前后小球的运动半径相等，周期也相等，D正确；据T＝，小球的速率保持不变，只有运动半径相等时周期才相等，C错误。
8.[2024·广东卷]如图所示，一个立方体
空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，
两区域分布有磁感应强度大小相等、方
向相反且与z轴平行的匀强磁场，一质子
以某一速度从立方体左侧空间垂直yOz平
面进入磁场，并穿过两个磁场区域。忽略重力的影响，下列关于质子的运动轨迹在不同坐标平面的投影，可能正确的是
(　　)
A
【解析】如图所示为磁场分布俯视图，
由题意知，当质子射出后先在MN左侧运
动，刚射出时根据左手定则可知质子受
到沿y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左
侧，质子会向y轴正方向偏转，做匀速圆
周运动，y轴坐标增大；在MN右侧，根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子将向x轴正方向偏转，做与先前相反的圆周运动，在xOy坐标平面内的投影如A选项所示，A正确，B错误。根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z坐标不变，故其在xOz坐标平面内的轨迹投影为一条平行于x轴的直线，C、D错误。
拓 展 突 破 练
9.(多选)如图所示，x轴上方有垂直于纸面向里的匀强磁场。两个质量相同、电荷量也相同的分别带正、负电的离子(不计重
力)以相同速度从O点射入磁场中，入射方向与x轴均成θ角，则
这两个离子在磁场中(　 　)
A. 运动的时间相同
B. 运动的轨迹半径相同
C. 重新回到x轴时速度的大小和方向均相同
D. 重新回到x轴时与O点的距离相同
BCD
【解析】作出运动轨迹如图所示，由左手
定则可知，正离子逆时针运动，负离子顺
时针运动，由于速度大小相同，正离子运
动的轨迹长，所以正离子运动的时间长，
A错误；据牛顿第二定律得qvB＝m，解
得r＝，所以这两个离子运动的轨迹半径
相同，B正确；由于洛伦兹力不做功，故两个离子的速度大小不变，即这两个离子重新回到x轴时的速度大小相同，由于这两个离子入射方向与x轴均成θ角，故这两个离子重新回到x轴时速度方向与x轴也均成θ角，即速度方向相同，C正确；这两个离子的轨迹组合成一个圆周，所以这两个离子重新回到x轴时与O点的距离相同，D正确。
10.如图所示，一质量为m、带电荷量为－q、不计重力的粒子从x 轴上的 P(a，0)点以大小为 v的速度沿与 x 轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。
(1)标出圆心，并画出带电粒子运动的轨迹；
(2)求轨迹圆的几何半径；
(3)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(4)求带电粒子穿过第一象限所用的时间。
【答案】(1)见解析　(2)a　(3)　(4)
【解析】(1)分别作出初、末速度的垂线，
相交于y轴上的O1点，即为轨迹的圆心，运
动轨迹如图所示。
(2)由几何关系可知，粒子运动的轨迹圆半
径r＝a。
(3)由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得B＝。
(4)带电粒子做匀速圆周运动的周期T＝，
带电粒子穿过第一象限所用的时间t＝T＝。1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动
1.关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法中正确的是(　C　)
A. 带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动
B. 静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动
C. 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直
D. 当洛伦兹力的方向和运动方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动
【解析】当带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向)时，洛伦兹力为0，带电粒子做匀速直线运动，A错误；静止的带电粒子不受洛伦兹力作用，当也不受其他力作用时，仍将静止，B错误；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力总跟速度方向垂直，C正确；当洛伦兹力方向和运动方向垂直，且带电粒子在匀强磁场中不受其他力作用时，带电粒子才做匀速圆周运动，D错误。
2.如图所示，平行放置的长直导线分别通以等大反向的电流I，一带正电的粒子以一定速度从两导线的正中间射入，图甲中的速度平行于导线方向，图乙中的速度垂直于导线方向。不计粒子重力，下列说法中，正确的是(　C　)
A. 图甲中粒子做匀速直线运动
B. 图乙中粒子做匀速圆周运动
C. 图甲中粒子将向上偏转，且速度大小保持不变
D. 图乙中粒子做直线运动，且速度先增大后减小
【解析】由安培定则可知，图甲中，与两导线共面、平行、等距的直线上磁感应强度垂直于纸面向里，由左手定则可知，带正电的粒子向上偏转，由于洛伦兹力不做功，所以粒子的速度大小不变，A错误，C正确；由安培定则可知，图乙中，两导线连线的中垂线上的磁感应强度水平向右，粒子的速度与磁场方向平行，粒子不受洛伦兹力，所以粒子将做匀速直线运动，速度大小不变，B、D错误。
3.电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列说法中，正确的是(　D　)
A. 速度越大，则周期越大
B. 速度越小，则周期越大
C. 速度方向与磁场方向平行
D. 速度方向与磁场方向垂直
【解析】电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有T＝，可知T与v无关，A、B错误；当v与B平行时，电子不受洛伦兹力作用，不可能做圆周运动，只有当v与B垂直时，电子才能在与v和B都垂直的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，C错误，D正确。
4.如图所示，甲、乙两个带电粒子沿着垂直于磁场的方向从某点射入同一匀强磁场中，它们在磁场中的运动轨迹重合，两粒子的质量m乙＝2m甲，两粒子的电荷量q乙＝q甲。它们在磁场中运动时，大小相等的物理量是(　C　)
A. 时间
B. 加速度
C. 动量
D. 动能
【解析】两粒子在磁场中的运动轨迹重合，可知两粒子做圆周运动的半径相等，由qvB＝m，可得mv＝qBR，因为q乙＝q甲，m乙＝2m甲，则两粒子的动量p＝mv大小相等；由加速度a＝，可知加速度大小不相等；由动能Ek＝m，可知动能不相等；由周期T＝，可知周期不相等，运动时间不相等，A、B、D错误，C正确。
5.一束带电粒子以同一速度v从同一位置进入匀强磁场，它们在磁场中的轨迹如图所示。若粒子a的轨迹半径为r1，粒子b的轨迹半径为r2，且r2＝2r1，q1、q2分别是它们带的电荷量，m1、m2分别是它们的质量，下列说法中，正确的是(　C　)
A. a带负电、b带正电，＝1∶1　
B. a带正电、b带负电，＝1∶1　
C. a带正电、b带负电，＝2∶1　
D. a带负电、b带正电，＝2∶1　
【解析】a向左偏，b向右偏，由左手定则可知，a带正电，b带负电；据洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得比荷，由于v与B均相同，所以比荷之比等于半径的反比，即＝2∶1，C正确。
6.初速度为0的α粒子和质子经过相同的加速电场后，垂直进入同一匀强磁场中并做匀速圆周运动。已知两者质量之比mα∶mH＝4∶1，电荷量之比qα∶qH＝2∶1，则它们在磁场中做匀速圆周运动的半径之比为多少？
【答案】∶1
【解析】α粒子和质子由静止经过相同的电场加速，设加速电场的电压为U，由动能定理得qU＝mv2，解得v＝，它们进入同一匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得r＝正比于，则。
7.在光滑水平面上，细绳的一端拴一个带正电的小球，小球绕细绳的另一端O沿顺时针方向做匀速圆周运动，水平面处于竖直向下的足够大的匀强磁场中，如图所示(俯视)。当细绳突然断裂后，下列说法中，正确的是(　D　)
A. 小球将偏离圆心O，且速率越来越小
B. 小球将偏离圆心O，且速率保持不变
C. 小球将做匀速圆周运动，运动周期与绳断前的周期一定相等
D. 小球将做匀速圆周运动，运动半径与绳断前的半径可能相等
【解析】绳未断时，小球沿顺时针方向运动，洛伦兹力与绳的拉力方向相反，有FT－qvB＝m，绳断开后，小球只受到洛伦兹力，洛伦兹力不做功，因此速率保持不变，A错误；绳断开后，小球在洛伦兹力的作用下，沿逆时针方向做匀速圆周运动，有qvB＝m，B错误；当FT－qvB＝qvB时，绳断前后小球的运动半径相等，周期也相等，D正确；据T＝，小球的速率保持不变，只有运动半径相等时周期才相等，C错误。
8.[2024·广东卷]如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场，一质子以某一速度从立方体左侧空间垂直yOz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。忽略重力的影响，下列关于质子的运动轨迹在不同坐标平面的投影，可能正确的是(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】如图所示为磁场分布俯视图，
由题意知，当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知质子受到沿y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧，质子会向y轴正方向偏转，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧，根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子将向x轴正方向偏转，做与先前相反的圆周运动，在xOy坐标平面内的投影如A选项所示，A正确，B错误。根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z坐标不变，故其在xOz坐标平面内的轨迹投影为一条平行于x轴的直线，C、D错误。
9.(多选)如图所示，x轴上方有垂直于纸面向里的匀强磁场。两个质量相同、电荷量也相同的分别带正、负电的离子(不计重力)以相同速度从O点射入磁场中，入射方向与x轴均成θ角，则这两个离子在磁场中(　BCD　)
A. 运动的时间相同
B. 运动的轨迹半径相同
C. 重新回到x轴时速度的大小和方向均相同
D. 重新回到x轴时与O点的距离相同
【解析】作出运动轨迹如图所示，
由左手定则可知，正离子逆时针运动，负离子顺时针运动，由于速度大小相同，正离子运动的轨迹长，所以正离子运动的时间长，A错误；据牛顿第二定律得qvB＝m，解得r＝，所以这两个离子运动的轨迹半径相同，B正确；由于洛伦兹力不做功，故两个离子的速度大小不变，即这两个离子重新回到x轴时的速度大小相同，由于这两个离子入射方向与x轴均成θ角，故这两个离子重新回到x轴时速度方向与x轴也均成θ角，即速度方向相同，C正确；这两个离子的轨迹组合成一个圆周，所以这两个离子重新回到x轴时与O点的距离相同，D正确。
10.如图所示，一质量为m、带电荷量为－q、不计重力的粒子从x 轴上的 P(a，0)点以大小为 v的速度沿与 x 轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。
(1)标出圆心，并画出带电粒子运动的轨迹；
(2)求轨迹圆的几何半径；
(3)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(4)求带电粒子穿过第一象限所用的时间。
【答案】(1)见解析　(2)a　(3)　(4)
【解析】(1)分别作出初、末速度的垂线，相交于y轴上的O1点，即为轨迹的圆心，运动轨迹如图所示。
(2)由几何关系可知，粒子运动的轨迹圆半径r＝a。
(3)由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得B＝。
(4)带电粒子做匀速圆周运动的周期T＝，
带电粒子穿过第一象限所用的时间t＝T＝。1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动
1.关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法中正确的是(　 )
A. 带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动
B. 静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动
C. 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直
D. 当洛伦兹力的方向和运动方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动
2.如图所示，平行放置的长直导线分别通以等大反向的电流I，一带正电的粒子以一定速度从两导线的正中间射入，图甲中的速度平行于导线方向，图乙中的速度垂直于导线方向。不计粒子重力，下列说法中，正确的是(　 )
A. 图甲中粒子做匀速直线运动
B. 图乙中粒子做匀速圆周运动
C. 图甲中粒子将向上偏转，且速度大小保持不变
D. 图乙中粒子做直线运动，且速度先增大后减小
3.电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列说法中，正确的是(　 )
A. 速度越大，则周期越大
B. 速度越小，则周期越大
C. 速度方向与磁场方向平行
D. 速度方向与磁场方向垂直
4.如图所示，甲、乙两个带电粒子沿着垂直于磁场的方向从某点射入同一匀强磁场中，它们在磁场中的运动轨迹重合，两粒子的质量m乙＝2m甲，两粒子的电荷量q乙＝q甲。它们在磁场中运动时，大小相等的物理量是(　 )
A. 时间
B. 加速度
C. 动量
D. 动能
5.一束带电粒子以同一速度v从同一位置进入匀强磁场，它们在磁场中的轨迹如图所示。若粒子a的轨迹半径为r1，粒子b的轨迹半径为r2，且r2＝2r1，q1、q2分别是它们带的电荷量，m1、m2分别是它们的质量，下列说法中，正确的是(　 )
A. a带负电、b带正电，＝1∶1　
B. a带正电、b带负电，＝1∶1　
C. a带正电、b带负电，＝2∶1　
D. a带负电、b带正电，＝2∶1　
6.初速度为0的α粒子和质子经过相同的加速电场后，垂直进入同一匀强磁场中并做匀速圆周运动。已知两者质量之比mα∶mH＝4∶1，电荷量之比qα∶qH＝2∶1，则它们在磁场中做匀速圆周运动的半径之比为多少？
7.在光滑水平面上，细绳的一端拴一个带正电的小球，小球绕细绳的另一端O沿顺时针方向做匀速圆周运动，水平面处于竖直向下的足够大的匀强磁场中，如图所示(俯视)。当细绳突然断裂后，下列说法中，正确的是(　 )
A. 小球将偏离圆心O，且速率越来越小
B. 小球将偏离圆心O，且速率保持不变
C. 小球将做匀速圆周运动，运动周期与绳断前的周期一定相等
D. 小球将做匀速圆周运动，运动半径与绳断前的半径可能相等
8.[2024·广东卷]如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场，一质子以某一速度从立方体左侧空间垂直yOz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。忽略重力的影响，下列关于质子的运动轨迹在不同坐标平面的投影，可能正确的是( )
A. B.
C. D.
9.(多选)如图所示，x轴上方有垂直于纸面向里的匀强磁场。两个质量相同、电荷量也相同的分别带正、负电的离子(不计重力)以相同速度从O点射入磁场中，入射方向与x轴均成θ角，则这两个离子在磁场中(　 )
A. 运动的时间相同
B. 运动的轨迹半径相同
C. 重新回到x轴时速度的大小和方向均相同
D. 重新回到x轴时与O点的距离相同
10.如图所示，一质量为m、带电荷量为－q、不计重力的粒子从x 轴上的 P(a，0)点以大小为 v的速度沿与 x 轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。
(1)标出圆心，并画出带电粒子运动的轨迹；
(2)求轨迹圆的几何半径；
(3)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(4)求带电粒子穿过第一象限所用的时间。

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