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专题课　电磁感应中的动力学和能量问题
电磁感应
第二章
高中物理 选择性必修 第二册
必 备 知 识 练
1.[2024·江苏启东中学月考]粗糙水平桌面上放一个单匝闭合矩形线框，如图甲所示，线框右半部分处在匀强磁场中，磁感应强度B竖直向下，磁场的左边界OO'与线框交于M、N两点。已知线框面积S＝100 cm2，总电阻R＝0.02 Ω，M、N间距离x＝8 cm，磁感应强度B按如图乙所示的图像变化时(向下为磁感应强度B的正方向)，线框始终静止不动，下列说法中，正确的是
(　　)
A. 在t＝1 s时，线框上M、N两点的电势差UMN＞0
B. 在t＝1 s时，线框受到的摩擦力大小Ff＝0.04 N
C. 在t＝2 s时，线框中感应电流的方向发生改变
D. 在t＝2 s时，线框所受的摩擦力方向发生改变
D
【解析】由图乙可知，正向磁通量减小，则线框中产生顺时针方向的电流，线框的右半部分相当于电源，故N点相当于电源正极，M点相当于电源负极，则有UMN＜0，A错误；由法拉第电磁感应定律可得E＝·S＝××100×10-4 V＝5×10-4 V，在t＝1 s时，线框受到的安培力大小为F＝BIl＝Bx＝1××0.08 N＝0.02 N，则线框受到的摩擦力大小Ff＝F＝0.02 N，B错误；由楞次定律可知，t＝2 s时，线框中的感应电流的方向不变，C错误；由图乙可知，在t＝2 s时，磁感应强度方向改变，由于电流不变，由左手定则可知，此时线框所受安培力方向发生改变，因此摩擦力方向也发生改变，D正确。
2.(多选)如图所示，MN和PQ是两根互相平行、
竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，
且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与
导轨接触良好的金属杆。开始时，将开关S断
开，让ab由静止开始自由下落，过段时间后，
再将S闭合，若从S闭合开始计时，下列关于ab的速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是
(　 　)
ACD
【解析】S闭合时，若＞mg，则ab先减速运动再匀速运动，D正确；若＝mg，则ab匀速运动，A正确；若＜mg，则ab先加速运动再匀速运动，C正确；由于v变化，mg－＝ma中a不恒定，B错误。
3.(多选)如图甲所示，PQ为一条竖直直线，空间存在以PQ为轴的足够长的均匀发散型磁场，其磁场分布如图乙所示(俯视)，现有一个质量为m的金属环静置于磁场中，环面水平，圆心也在PQ上，金属环半径为r、电阻为R，金属环所处位置的磁感应强度大小为B，重力加速度为g。现将金属环由静止释放，下列说法中，正确的是(　 　)
A. 金属环将做自由落体运动
B. 金属环在下落过程中存在顺时针方向的
电流(俯视)
C. 金属环下落过程中的最大电流为
D. 金属环下落过程中的最大速度为
BC
【解析】金属环下落过程中切割磁感应线产生感应电流，受到向上的安培力作用，不是做自由落体运动，A错误；由右手定则可知金属环在下落过程中存在顺时针方向的电流(俯视)，B正确；当速度最大时，金属环下落过程中的电流最大，此时受力平衡，有mg＝BIm2πr，解得Im＝，C正确；金属环下落过程中的最大速度为vm，则有Im＝，解得vm＝，D错误。
4.[2025·山东烟台二中月考]如图所示，竖直放
置的两根足够长的平行金属导轨相距L，导轨电
阻不计，导轨间接有一个定值电阻R，质量为
m、电阻为r的金属棒与两导轨始终保持垂直并
良好接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁场
中，磁场方向与导轨平面垂直，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h时开始做匀速运动，在此过程中
(　　)
A. 金属棒的最大速度为
B. 下落h时通过电阻R的电荷量为
C. 金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的热量
D. 安培力对金属棒做的功等于金属棒动能的增加量
B
【解析】金属棒匀速运动时速度最大，由于金属棒做加速度减小的加速运动，加速度小于g，由功能关系可知最大速度小于，A错误；通过电阻R的电荷量为q＝，B正确；由功能关系可知，金属棒克服安培力做的功等于电阻R与r上产生的热量之和，C错误；由动能定理可知，重力和安培力对金属棒做功之和等于金属棒动能的增加量，D错误。
5.如图所示，在粗糙绝缘水平面上有一个正方形闭合金属线框abcd，其边长为l，质量为m，金属线框与水平面的动摩擦因数为μ，虚线框a'b'c'd'内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的ab边与磁场的d'c'边重合，现使金属线框以初速度v0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc边与磁场的d'c'边距离为l。则这个过程中，金属线
框产生的焦耳热为(重力加速度为g)(　　)
D
A. m＋μmgl
B. m－μmgl
C. m＋2μmgl
D. m－2μmgl
【解析】由题意知，金属线框移动的位移大小为2l，此过程中克服摩擦力做功为2μmgl，由能量守恒定律得金属线框中产生的焦耳热为Q＝m－2μmgl，D正确。
6.(多选)[2024·河南商丘期末]如图所示，垂直于纸面向外的正方形匀强磁场区域内有一个位于纸面内的电阻均匀的正方形导体框abcd，第一次将导体框以大小为v的速度向上匀速拉出磁场，第二次将导体框以大小为4v的速度向右匀速拉出磁场，则导体框两次移出磁场的过程中(　 　)
A. 导体框的ad边两端电势差相同
B. 通过导体框截面的电荷量相同
C. 导体框中产生的焦耳热相同
D. 导体框中产生的感应电流方向相同
BD
【解析】设导体框的边长为L，由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可得，以大小为v的速度向上匀速拉出磁场时，导体框的ad边两端电势差为U1＝E1＝BLv，以大小为4v的速度向右匀速拉出磁场时，ad相当于电源，导体框的ad边两端电势差为U2＝E2＝BL×4v＝3BLv，故两次运动过程中导体框的ad边两端电势差不相同，A错误；通过导体框截面的电荷量为q＝It，由闭合电路欧姆定律可得I＝，由法拉第电磁感应定律
可得E＝，其中ΔΦ＝BL2，联立得q＝，可知q与速度无关，故两次运动过程中通过导体框截面的电荷量相同，B正确；导体框中产生的焦耳热为Q＝t，其中E＝BLv，t＝，联立得Q＝∝v，可知速度越大，导体框中产生的焦耳热就越多，故两次运动过程中导体框中产生的焦耳热不相同，C错误；两次运动过程中穿过导体框的磁通量均减小，由楞次定律可知，导体框中产生的感应电流方向相同，都是逆时针方向，D正确。
关 键 能 力 练
7.(多选)[2025·北京二中月考]如图所示，在光滑水平面上方有一个有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，磁场宽度大于L。有两个相同的矩形线框，长为L，宽为，按图中方式放置。甲线框到磁场左边界的距离为L，在恒力2F的作用下由静止开始向右运动；乙线框到磁场左边界的距离为2L，在恒力F的作用下由静止开始向右运动。下列说法中，正确的是
(　 　)
A. 甲线框进入与离开磁场时，感应电流的方向一定相反，安培力的方向也一定相反
B. 若甲线框进入磁场后恰好做匀速运动，则乙线框进入磁场后一定做减速运动
C. 甲线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热一定大于乙线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热
D. 穿过磁场的过程中，通过两线框横截面的电荷量相同
BCD
【解析】由楞次定律可知，甲线框进入与离开磁场时感应电流的方向一定相反，而安培力阻碍线框的运动，故安培力的方向一定相同，A错误；对甲、乙两线框进行受力分析和运动分析可知，甲、乙两线框进入磁场时的速度大小相同，则安培力大小相同，若甲线框进入磁场时恰好做匀速运动，说明安培力大小为2F，大于乙线框受到的拉力，则乙线框进入磁场时一定做减速运动，B正确；由B项分析知，在穿过磁场的整个过程中，甲线框的速度会一直大于乙线框(进入瞬间速度相等)，所以甲线框受的安培力会一直大于乙线框受的安培力(进入瞬间安培力大小相等)，而克服安培力做功的位移相同，故甲线框克服安培力做功较多，甲线框产生的焦耳热较多，C正确；通过线框横截面的电荷量q＝，磁通量的变化量相同，则通过两线框横截面的电荷量相同，D正确。
8.(多选)如图所示，PQ为一段固定于水平面上的光滑圆弧导轨，圆弧的圆心为O，半径为L。空间存在垂直导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。电阻为R的金属杆OA与导轨接触良好，图中电阻R1＝R2＝R，导轨电阻不计。现使OA杆以恒定角速度
ω绕圆心O顺时针转动，关于其转过角度为的过程，下列说法
中正确的是(　 　)
A. 流过电阻R1的电流方向为P→R1→O
B. A、O两点间电势差为
C. 流过OA的电荷量为
D. 外力做的功为
AD
【解析】由右手定则判断出OA中电流方向由O→A，可知流过电阻R1的电流方向为P→R1→O，A正确；OA产生的感应电动势为E＝BL＝BL×Lω＝，将OA当成电源，外部电路R1与R2并联，则A、O间的电势差为U＝，B错误；流过OA的电流为I＝，转过角度过程中经过的时间为t＝，流过OA的电荷量为q＝It＝，C错误；转过角度过程中，外力做的功为W＝EIt＝，D正确。
9.如图所示，在磁感应强度为0.5 T的匀强磁场中，让长L＝
0.2 m、电阻r＝1 Ω的导体棒MN在金属框架上以v＝5 m/s的速度向右无摩擦地做匀速直线运动，电阻R1＝R2＝2 Ω，其余的电阻不计。求：
(1)导体棒MN中产生的感应电动势和流经导体棒MN的电流；
(2)导体棒MN中产生的电功率；
(3)驱动导体棒做匀速直线运动的外力大小和外力的功率；
(4)外电阻R1、R2及内阻r分别消耗的电功率。
【答案】(1)0.5 V　0.25 A　(2)0.125 W　(3)0.025 N
0.125 W　(4)0.031 25 W　0.031 25 W　0.062 5 W
【解析】(1)切割磁感线时导体棒MN中产生的感应电动势为E＝BLv＝0.5×0.2×5 V＝0.5 V；
由闭合电路欧姆定律，得流经导体棒MN的电流为
I＝ A＝0.25 A。
(2)由电功率公式，得导体棒MN中产生的电功率为
P＝EI＝0.5×0.25 W＝0.125 W。
(3)驱动导体棒做匀速直线运动的外力与导体棒所受的安培力大小相等，即F＝F安＝BIL＝0.5×0.25×0.2 N＝0.025 N，
外力的功率P外＝Fv＝0.025×5 W＝0.125 W。
(4)外电阻R1消耗的电功率为
P1＝R1＝0.1252×2 W ＝0.031 25 W；
外电阻R2消耗的电功率为
P2＝R2＝0.1252×2 W＝0.031 25 W；
内阻r消耗的电功率P内＝I2r＝0.252×1 W＝0.062 5 W。　
10.如图所示，两根足够长的光滑直
金属导轨MN、PQ平行放置在倾角
θ＝30°的绝缘斜面上，两导轨间距
L＝1 m，M、P两点间接有阻值为
8 Ω的电阻R。一根质量m＝1 kg、
电阻r＝2 Ω的均匀直金属杆ab放在
两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度B＝5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。导轨的电阻可忽略。让金属杆ab沿导轨由静止开始下滑，沿斜面下滑的距离d＝2 m时，金属杆达到最大速度，导轨和金属杆接触良好。求：(g取10 m/s2)
(1)金属杆能达到的最大速度vm的大小；
(2)在这个过程中，电阻R上产生的热量；
(3)在这个过程中，通过电阻R的电荷量。
【答案】(1)2 m/s　(2)6.4 J　(3)1 C
【解析】(1)金属杆在磁场中运动时，产生的感应电动势为E＝BLv，金属杆中的电流为I＝，金属杆受的安培力为F安＝BIL，当速度最大时有mgsin θ＝F安，联立解得vm＝2 m/s。　
(2)由能量转化与守恒，mgdsin θ＝m＋Q，解得Q＝8 J，由于QR＝Q，故QR＝6.4 J。
(3)电路中的平均感应电动势为E'＝n，
磁通量的变化量为ΔΦ＝BLd，平均电流为，
通过的电荷量q＝Δt，联立解得q＝1 C。第二章 专题课　电磁感应中的动力学和能量问题
1.[2024·江苏启东中学月考]粗糙水平桌面上放一个单匝闭合矩形线框，如图甲所示，线框右半部分处在匀强磁场中，磁感应强度B竖直向下，磁场的左边界OO'与线框交于M、N两点。已知线框面积S＝100 cm2，总电阻R＝0.02 Ω，M、N间距离x＝8 cm，磁感应强度B按如图乙所示的图像变化时(向下为磁感应强度B的正方向)，线框始终静止不动，下列说法中，正确的是(　D　)
A. 在t＝1 s时，线框上M、N两点的电势差UMN＞0
B. 在t＝1 s时，线框受到的摩擦力大小Ff＝0.04 N
C. 在t＝2 s时，线框中感应电流的方向发生改变
D. 在t＝2 s时，线框所受的摩擦力方向发生改变
【解析】由图乙可知，正向磁通量减小，则线框中产生顺时针方向的电流，线框的右半部分相当于电源，故N点相当于电源正极，M点相当于电源负极，则有UMN＜0，A错误；由法拉第电磁感应定律可得E＝·S＝××100×10-4 V＝5×10-4 V，在t＝1 s时，线框受到的安培力大小为F＝BIl＝Bx＝1××0.08 N＝0.02 N，则线框受到的摩擦力大小Ff＝F＝0.02 N，B错误；由楞次定律可知，t＝2 s时，线框中的感应电流的方向不变，C错误；由图乙可知，在t＝2 s时，磁感应强度方向改变，由于电流不变，由左手定则可知，此时线框所受安培力方向发生改变，因此摩擦力方向也发生改变，D正确。
2.(多选)如图所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆。开始时，将开关S断开，让ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，下列关于ab的速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是(　ACD　)
A. B.
C. D.
【解析】S闭合时，若＞mg，则ab先减速运动再匀速运动，D正确；若＝mg，则ab匀速运动，A正确；若＜mg，则ab先加速运动再匀速运动，C正确；由于v变化，mg－＝ma中a不恒定，B错误。
3.(多选)如图甲所示，PQ为一条竖直直线，空间存在以PQ为轴的足够长的均匀发散型磁场，其磁场分布如图乙所示(俯视)，现有一个质量为m的金属环静置于磁场中，环面水平，圆心也在PQ上，金属环半径为r、电阻为R，金属环所处位置的磁感应强度大小为B，重力加速度为g。现将金属环由静止释放，下列说法中，正确的是(　BC　)
A. 金属环将做自由落体运动
B. 金属环在下落过程中存在顺时针方向的电流(俯视)
C. 金属环下落过程中的最大电流为
D. 金属环下落过程中的最大速度为
【解析】金属环下落过程中切割磁感应线产生感应电流，受到向上的安培力作用，不是做自由落体运动，A错误；由右手定则可知金属环在下落过程中存在顺时针方向的电流(俯视)，B正确；当速度最大时，金属环下落过程中的电流最大，此时受力平衡，有mg＝BIm2πr，解得Im＝，C正确；金属环下落过程中的最大速度为vm，则有Im＝，解得vm＝，D错误。
4.[2025·山东烟台二中月考]如图所示，竖直放置的两根足够长的平行金属导轨相距L，导轨电阻不计，导轨间接有一个定值电阻R，质量为m、电阻为r的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h时开始做匀速运动，在此过程中(　B　)
A. 金属棒的最大速度为
B. 下落h时通过电阻R的电荷量为
C. 金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的热量
D. 安培力对金属棒做的功等于金属棒动能的增加量
【解析】金属棒匀速运动时速度最大，由于金属棒做加速度减小的加速运动，加速度小于g，由功能关系可知最大速度小于，A错误；通过电阻R的电荷量为q＝，B正确；由功能关系可知，金属棒克服安培力做的功等于电阻R与r上产生的热量之和，C错误；由动能定理可知，重力和安培力对金属棒做功之和等于金属棒动能的增加量，D错误。
5.如图所示，在粗糙绝缘水平面上有一个正方形闭合金属线框abcd，其边长为l，质量为m，金属线框与水平面的动摩擦因数为μ，虚线框a'b'c'd'内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的ab边与磁场的d'c'边重合，现使金属线框以初速度v0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc边与磁场的d'c'边距离为l。则这个过程中，金属线框产生的焦耳热为(重力加速度为g)(　D　)
A. m＋μmgl B. m－μmgl
C. m＋2μmgl D. m－2μmgl
【解析】由题意知，金属线框移动的位移大小为2l，此过程中克服摩擦力做功为2μmgl，由能量守恒定律得金属线框中产生的焦耳热为Q＝m－2μmgl，D正确。
6.(多选)[2024·河南商丘期末]如图所示，垂直于纸面向外的正方形匀强磁场区域内有一个位于纸面内的电阻均匀的正方形导体框abcd，第一次将导体框以大小为v的速度向上匀速拉出磁场，第二次将导体框以大小为4v的速度向右匀速拉出磁场，则导体框两次移出磁场的过程中(　BD　)
A. 导体框的ad边两端电势差相同
B. 通过导体框截面的电荷量相同
C. 导体框中产生的焦耳热相同
D. 导体框中产生的感应电流方向相同
【解析】设导体框的边长为L，由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可得，以大小为v的速度向上匀速拉出磁场时，导体框的ad边两端电势差为U1＝E1＝BLv，以大小为4v的速度向右匀速拉出磁场时，ad相当于电源，导体框的ad边两端电势差为U2＝E2＝BL×4v＝3BLv，故两次运动过程中导体框的ad边两端电势差不相同，A错误；通过导体框截面的电荷量为q＝It，由闭合电路欧姆定律可得I＝，由法拉第电磁感应定律可得E＝，其中ΔΦ＝BL2，联立得q＝，可知q与速度无关，故两次运动过程中通过导体框截面的电荷量相同，B正确；导体框中产生的焦耳热为Q＝t，其中E＝BLv，t＝，联立得Q＝∝v，可知速度越大，导体框中产生的焦耳热就越多，故两次运动过程中导体框中产生的焦耳热不相同，C错误；两次运动过程中穿过导体框的磁通量均减小，由楞次定律可知，导体框中产生的感应电流方向相同，都是逆时针方向，D正确。
7.(多选)[2025·北京二中月考]如图所示，在光滑水平面上方有一个有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，磁场宽度大于L。有两个相同的矩形线框，长为L，宽为，按图中方式放置。甲线框到磁场左边界的距离为L，在恒力2F的作用下由静止开始向右运动；乙线框到磁场左边界的距离为2L，在恒力F的作用下由静止开始向右运动。下列说法中，正确的是(　BCD　)
A. 甲线框进入与离开磁场时，感应电流的方向一定相反，安培力的方向也一定相反
B. 若甲线框进入磁场后恰好做匀速运动，则乙线框进入磁场后一定做减速运动
C. 甲线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热一定大于乙线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热
D. 穿过磁场的过程中，通过两线框横截面的电荷量相同
【解析】由楞次定律可知，甲线框进入与离开磁场时感应电流的方向一定相反，而安培力阻碍线框的运动，故安培力的方向一定相同，A错误；对甲、乙两线框进行受力分析和运动分析可知，甲、乙两线框进入磁场时的速度大小相同，则安培力大小相同，若甲线框进入磁场时恰好做匀速运动，说明安培力大小为2F，大于乙线框受到的拉力，则乙线框进入磁场时一定做减速运动，B正确；由B项分析知，在穿过磁场的整个过程中，甲线框的速度会一直大于乙线框(进入瞬间速度相等)，所以甲线框受的安培力会一直大于乙线框受的安培力(进入瞬间安培力大小相等)，而克服安培力做功的位移相同，故甲线框克服安培力做功较多，甲线框产生的焦耳热较多，C正确；通过线框横截面的电荷量q＝，磁通量的变化量相同，则通过两线框横截面的电荷量相同，D正确。
8.(多选)如图所示，PQ为一段固定于水平面上的光滑圆弧导轨，圆弧的圆心为O，半径为L。空间存在垂直导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。电阻为R的金属杆OA与导轨接触良好，图中电阻R1＝R2＝R，导轨电阻不计。现使OA杆以恒定角速度ω绕圆心O顺时针转动，关于其转过角度为的过程，下列说法中正确的是(　AD　)
A. 流过电阻R1的电流方向为P→R1→O
B. A、O两点间电势差为
C. 流过OA的电荷量为
D. 外力做的功为
【解析】由右手定则判断出OA中电流方向由O→A，可知流过电阻R1的电流方向为P→R1→O，A正确；OA产生的感应电动势为E＝BL＝BL×Lω＝，将OA当成电源，外部电路R1与R2并联，则A、O间的电势差为U＝，B错误；流过OA的电流为I＝，转过角度过程中经过的时间为t＝，流过OA的电荷量为q＝It＝，C错误；转过角度过程中，外力做的功为W＝EIt＝，D正确。
9.如图所示，在磁感应强度为0.5 T的匀强磁场中，让长L＝0.2 m、电阻r＝1 Ω的导体棒MN在金属框架上以v＝5 m/s的速度向右无摩擦地做匀速直线运动，电阻R1＝R2＝2 Ω，其余的电阻不计。求：
(1)导体棒MN中产生的感应电动势和流经导体棒MN的电流；
(2)导体棒MN中产生的电功率；
(3)驱动导体棒做匀速直线运动的外力大小和外力的功率；
(4)外电阻R1、R2及内阻r分别消耗的电功率。
【答案】(1)0.5 V　0.25 A　(2)0.125 W　(3)0.025 N
0.125 W　(4)0.031 25 W　0.031 25 W　0.062 5 W
【解析】(1)切割磁感线时导体棒MN中产生的感应电动势为E＝BLv＝0.5×0.2×5 V＝0.5 V；
由闭合电路欧姆定律，得流经导体棒MN的电流为
I＝ A＝0.25 A。
(2)由电功率公式，得导体棒MN中产生的电功率为
P＝EI＝0.5×0.25 W＝0.125 W。
(3)驱动导体棒做匀速直线运动的外力与导体棒所受的安培力大小相等，即F＝F安＝BIL＝0.5×0.25×0.2 N＝0.025 N，
外力的功率P外＝Fv＝0.025×5 W＝0.125 W。
(4)外电阻R1消耗的电功率为
P1＝R1＝0.1252×2 W ＝0.031 25 W；
外电阻R2消耗的电功率为
P2＝R2＝0.1252×2 W＝0.031 25 W；
内阻r消耗的电功率P内＝I2r＝0.252×1 W＝0.062 5 W。　
10.如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角θ＝30°的绝缘斜面上，两导轨间距L＝1 m，M、P两点间接有阻值为8 Ω的电阻R。一根质量m＝1 kg、电阻r＝2 Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度B＝5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。导轨的电阻可忽略。让金属杆ab沿导轨由静止开始下滑，沿斜面下滑的距离d＝2 m时，金属杆达到最大速度，导轨和金属杆接触良好。求：(g取10 m/s2)
(1)金属杆能达到的最大速度vm的大小；
(2)在这个过程中，电阻R上产生的热量；
(3)在这个过程中，通过电阻R的电荷量。
【答案】(1)2 m/s　(2)6.4 J　(3)1 C
【解析】(1)金属杆在磁场中运动时，产生的感应电动势为E＝BLv，金属杆中的电流为I＝，金属杆受的安培力为F安＝BIL，当速度最大时有mgsin θ＝F安，联立解得vm＝2 m/s。　
(2)由能量转化与守恒，mgdsin θ＝m＋Q，解得Q＝8 J，由于QR＝Q，故QR＝6.4 J。
(3)电路中的平均感应电动势为E'＝n，
磁通量的变化量为ΔΦ＝BLd，平均电流为，
通过的电荷量q＝Δt，联立解得q＝1 C。第二章 专题课　电磁感应中的动力学和能量问题
1.[2024·江苏启东中学月考]粗糙水平桌面上放一个单匝闭合矩形线框，如图甲所示，线框右半部分处在匀强磁场中，磁感应强度B竖直向下，磁场的左边界OO'与线框交于M、N两点。已知线框面积S＝100 cm2，总电阻R＝0.02 Ω，M、N间距离x＝8 cm，磁感应强度B按如图乙所示的图像变化时(向下为磁感应强度B的正方向)，线框始终静止不动，下列说法中，正确的是(　 )
A. 在t＝1 s时，线框上M、N两点的电势差UMN＞0
B. 在t＝1 s时，线框受到的摩擦力大小Ff＝0.04 N
C. 在t＝2 s时，线框中感应电流的方向发生改变
D. 在t＝2 s时，线框所受的摩擦力方向发生改变
2.(多选)如图所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆。开始时，将开关S断开，让ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，下列关于ab的速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是(　 )
A. B.
C. D.
3.(多选)如图甲所示，PQ为一条竖直直线，空间存在以PQ为轴的足够长的均匀发散型磁场，其磁场分布如图乙所示(俯视)，现有一个质量为m的金属环静置于磁场中，环面水平，圆心也在PQ上，金属环半径为r、电阻为R，金属环所处位置的磁感应强度大小为B，重力加速度为g。现将金属环由静止释放，下列说法中，正确的是(　 )
A. 金属环将做自由落体运动
B. 金属环在下落过程中存在顺时针方向的电流(俯视)
C. 金属环下落过程中的最大电流为
D. 金属环下落过程中的最大速度为
4.[2025·山东烟台二中月考]如图所示，竖直放置的两根足够长的平行金属导轨相距L，导轨电阻不计，导轨间接有一个定值电阻R，质量为m、电阻为r的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h时开始做匀速运动，在此过程中( )
A. 金属棒的最大速度为
B. 下落h时通过电阻R的电荷量为
C. 金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的热量
D. 安培力对金属棒做的功等于金属棒动能的增加量
5.如图所示，在粗糙绝缘水平面上有一个正方形闭合金属线框abcd，其边长为l，质量为m，金属线框与水平面的动摩擦因数为μ，虚线框a'b'c'd'内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的ab边与磁场的d'c'边重合，现使金属线框以初速度v0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc边与磁场的d'c'边距离为l。则这个过程中，金属线框产生的焦耳热为(重力加速度为g)( )
A. m＋μmgl B. m－μmgl
C. m＋2μmgl D. m－2μmgl
6.(多选)[2024·河南商丘期末]如图所示，垂直于纸面向外的正方形匀强磁场区域内有一个位于纸面内的电阻均匀的正方形导体框abcd，第一次将导体框以大小为v的速度向上匀速拉出磁场，第二次将导体框以大小为4v的速度向右匀速拉出磁场，则导体框两次移出磁场的过程中(　 )
A. 导体框的ad边两端电势差相同
B. 通过导体框截面的电荷量相同
C. 导体框中产生的焦耳热相同
D. 导体框中产生的感应电流方向相同
7.(多选)[2025·北京二中月考]如图所示，在光滑水平面上方有一个有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，磁场宽度大于L。有两个相同的矩形线框，长为L，宽为，按图中方式放置。甲线框到磁场左边界的距离为L，在恒力2F的作用下由静止开始向右运动；乙线框到磁场左边界的距离为2L，在恒力F的作用下由静止开始向右运动。下列说法中，正确的是(　 )
A. 甲线框进入与离开磁场时，感应电流的方向一定相反，安培力的方向也一定相反
B. 若甲线框进入磁场后恰好做匀速运动，则乙线框进入磁场后一定做减速运动
C. 甲线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热一定大于乙线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热
D. 穿过磁场的过程中，通过两线框横截面的电荷量相同
8.(多选)如图所示，PQ为一段固定于水平面上的光滑圆弧导轨，圆弧的圆心为O，半径为L。空间存在垂直导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。电阻为R的金属杆OA与导轨接触良好，图中电阻R1＝R2＝R，导轨电阻不计。现使OA杆以恒定角速度ω绕圆心O顺时针转动，关于其转过角度为的过程，下列说法中正确的是(　 )
A. 流过电阻R1的电流方向为P→R1→O
B. A、O两点间电势差为
C. 流过OA的电荷量为
D. 外力做的功为
9.如图所示，在磁感应强度为0.5 T的匀强磁场中，让长L＝0.2 m、电阻r＝1 Ω的导体棒MN在金属框架上以v＝5 m/s的速度向右无摩擦地做匀速直线运动，电阻R1＝R2＝2 Ω，其余的电阻不计。求：
(1)导体棒MN中产生的感应电动势和流经导体棒MN的电流；
(2)导体棒MN中产生的电功率；
(3)驱动导体棒做匀速直线运动的外力大小和外力的功率；
(4)外电阻R1、R2及内阻r分别消耗的电功率。
10.如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角θ＝30°的绝缘斜面上，两导轨间距L＝1 m，M、P两点间接有阻值为8 Ω的电阻R。一根质量m＝1 kg、电阻r＝2 Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度B＝5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。导轨的电阻可忽略。让金属杆ab沿导轨由静止开始下滑，沿斜面下滑的距离d＝2 m时，金属杆达到最大速度，导轨和金属杆接触良好。求：(g取10 m/s2)
(1)金属杆能达到的最大速度vm的大小；
(2)在这个过程中，电阻R上产生的热量；
(3)在这个过程中，通过电阻R的电荷量。

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