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第一章 专题课　带电粒子在有界磁场中的临界问题与多解问题
1.如图所示，宽为d的带状区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为e的质子从A 点出发，与边界成60°角进入匀强磁场，要使质子从左边界飞出磁场，则质子速度的最大值为(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】作出不同速度情况下的质子的运动轨迹，如图所示，质子速度最大的临界状态是轨迹与右边界相切，由几何知识可得r＋rcos 60°＝d，解得r＝d，质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v＝，A正确。
2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场B，磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子以相同的速率v从原点O沿纸面内由从x轴负方向到y轴正方向之间的各个方向射入磁场区域。不计重力及粒子间的相互作用。用阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝，下列各图中，正确的是(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】如图所示，从O点沿x轴负方向射入的粒子其运动轨迹为圆，与x轴相切于O点，在x轴上方，半径为R；沿y轴正方向射入的粒子其运动轨迹为半圆，在y轴右侧，
与x轴交点距O点为2R；沿其余方向射入的带电粒子的运动轨迹最远处均在以O为圆心、半径为2R的圆周上；由以上分析并结合定圆旋转法，D正确。
3.(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直于OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直于纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　BD　)
A. B＞，垂直于纸面向里
B. B＞，垂直于纸面向里
C. B＞，垂直于纸面向外
D. B＞，垂直于纸面向外
【解析】当磁场方向垂直于纸面向里时，离子运动轨迹恰好与OP相切的情况如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，解得r1＝s，由qvB1＝m，解得B1＝，即磁感应强度应大于；当磁场方向垂直于纸面向外时，其临界轨迹如图乙所示，由几何关系可知s＝r2＋，解得r2＝，由qvB2＝m，解得B2＝，即磁感应强度应大于，B、D正确，A、C错误。
4.(多选)如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q(不计重力)的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时与x轴的最大距离为a，则磁感应强度B的大小和该粒子的电性可能是(　BC　)
A. ，带正电 B. ，带正电
C. ，带负电 D. ，带负电
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，qvB＝m，得B＝。粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，
若粒子带正电，运动轨迹为左侧圆弧轨迹，由几何关系知a＝PQ＝r(1－sin 30°)＝r，则B＝，B正确，A错误；若粒子带负电，运动轨迹为右侧圆弧轨迹，由几何关系知a＝P'Q'＝r(1＋sin 30°)＝r，则B＝，C正确，D错误。
5.如图所示，长为l的水平极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计重力)从两极板间的中点处垂直于磁场边界以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，求满足以上条件的粒子速度大小v的范围。
【答案】v＜或v＞
【解析】如图所示，
由题意知，粒子不打在极板上有两种情况：
①当粒子刚好打在上极板左边缘时，有r1＝，　
粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝m，解得v1＝，则粒子运动的速度范围应是v＜；
②当带电粒子刚好打在上极板右边缘时，有＋l2，又r＝，解得v2＝，则粒子运动的速度范围应是v＞；
故粒子运动的速度范围应是v＜或v＞。
6.如图所示，在水平面内存在半径为2R和半径为R的两个同心圆，半径为R的小圆和半径为2R的大圆之间形成一环形区域。小圆和环形区域内分别存在垂直于纸面向里、向外的匀强磁场。小圆内匀强磁场的磁感应强度大小为B，位于圆心处的粒子源S沿水平面向各个方向发射速率均为v＝的带正电的粒子， 粒子的电荷量为q、质量为m，为了将所有粒子束缚在半径为2R的大圆内，环形区域的磁感应强度大小至少为(　C　)
A. B B. B
C. B D. B
【解析】粒子在小圆内做圆周
运动的半径为r0＝＝R，由轨迹图可知，粒子从A点沿与OA成30°角的方向射入环形区域，粒子恰好不射出大圆时，粒子在环形区域中的轨迹圆与大圆相切，设半径为r，由几何知识可知∠OAO2＝120°，由余弦定理可知(2R－r)2＝r2＋R2－2Rrcos 120°，解得r＝R，又qvB'＝m，解得B'＝B，C正确。
7.如图所示，在理想的虚线边界内有范围足够大的匀强磁场，ab、cd段水平，bc、de段竖直，且ab＝cd＝bc。在纸面内大量质子从a点垂直于ab以不同速率射入磁场，不计质子间的相互作用力和重力，则从边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为(　B　)
A. 3∶2 B. 36∶13
C. 9∶4 D. 36∶17
【解析】画出粒子的运动轨迹如图所示，
设bc长度为2L，则ab＝cd＝3L，从边界de垂直射出的质子其运动轨迹如图中圆弧1所示，设其半径R1，由几何关系可知R1＝ab＋cd＝6L；设质子从bcd上的g点射出，运动轨迹圆的圆心为O，当∠Oag最大时，∠aOg最小，运动轨迹对应的圆心角最大，由t＝T＝可知粒子运动时间最长，由几何关系可知，当粒子 从c点射出时，质子运动时间最长，轨迹如图中圆弧2所示，设其半径为R2，由几何关系可知，对三角形Obc有，解得R2＝L，由qvB＝m得v＝，可知质子在磁场中运动速率之比等于运动半径之比，所以从边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为v1∶v2＝R1∶R2＝36∶13，B正确。
8.如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场(边界无磁场)，线状粒子源从y轴左侧沿x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电的粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，
有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，D为粒子射入点，E为粒子射出点，EF为y轴上的垂线，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆心角α最大，FE应最长，由图可知，当粒子从y轴上的D'点射入、从x轴上的E'点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D'点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间tm＝·，解得tm＝，C正确。
9.如图所示，半圆形区域内充满磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。在半圆形区域底部放置一个粒子收集板，收集板与直径ab完全重合，其中心O点有一个小孔。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从小孔沿与ab成60°角的方向射入磁场，经磁场偏转后在与小孔距离为d处被收集。粒子的重力不计。
(1)求粒子射入磁场时的速度v的大小；
(2)求粒子运动到轨迹最高点的时间t及轨迹最高点到ab的距离；
(3)若粒子在磁场中运动到轨迹最高点时，磁感应强度突然变为B，粒子仍能打在收集板上，求半圆形区域半径可能的最小值。
【答案】(1)　(2)　d　(3)d
【解析】(1)设粒子的轨迹半径为r1，如图甲所示，由几何关系有
r1sin 60°＝，解得r1＝d，
由qvB＝m，解得v＝。
(2)由qvB＝mr，解得T＝，则t＝T＝，h＝r1＋r1cos 60°＝d。
(3)当磁感应强度变为B'＝B后，由qvB'＝m，
解得粒子的轨迹半径r2＝r1＝d，
粒子的临界轨迹如图乙所示，由几何关系可得Rmin＝r2＋d。第一章 专题课　带电粒子在有界磁场中的临界问题与多解问题
1.如图所示，宽为d的带状区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为e的质子从A 点出发，与边界成60°角进入匀强磁场，要使质子从左边界飞出磁场，则质子速度的最大值为( )
A. B.
C. D.
2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场B，磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子以相同的速率v从原点O沿纸面内由从x轴负方向到y轴正方向之间的各个方向射入磁场区域。不计重力及粒子间的相互作用。用阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝，下列各图中，正确的是(　 )
A. B.
C. D.
3.(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直于OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直于纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　 )
A. B＞，垂直于纸面向里
B. B＞，垂直于纸面向里
C. B＞，垂直于纸面向外
D. B＞，垂直于纸面向外
4.(多选)如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q(不计重力)的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时与x轴的最大距离为a，则磁感应强度B的大小和该粒子的电性可能是(　 )
A. ，带正电 B. ，带正电
C. ，带负电 D. ，带负电
5.如图所示，长为l的水平极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计重力)从两极板间的中点处垂直于磁场边界以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，求满足以上条件的粒子速度大小v的范围。
6.如图所示，在水平面内存在半径为2R和半径为R的两个同心圆，半径为R的小圆和半径为2R的大圆之间形成一环形区域。小圆和环形区域内分别存在垂直于纸面向里、向外的匀强磁场。小圆内匀强磁场的磁感应强度大小为B，位于圆心处的粒子源S沿水平面向各个方向发射速率均为v＝的带正电的粒子， 粒子的电荷量为q、质量为m，为了将所有粒子束缚在半径为2R的大圆内，环形区域的磁感应强度大小至少为( )
A. B B. B
C. B D. B
7.如图所示，在理想的虚线边界内有范围足够大的匀强磁场，ab、cd段水平，bc、de段竖直，且ab＝cd＝bc。在纸面内大量质子从a点垂直于ab以不同速率射入磁场，不计质子间的相互作用力和重力，则从边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为(　 )
A. 3∶2 B. 36∶13
C. 9∶4 D. 36∶17
8.如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场(边界无磁场)，线状粒子源从y轴左侧沿x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电的粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　 )
A. B.
C. D.
9.如图所示，半圆形区域内充满磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。在半圆形区域底部放置一个粒子收集板，收集板与直径ab完全重合，其中心O点有一个小孔。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从小孔沿与ab成60°角的方向射入磁场，经磁场偏转后在与小孔距离为d处被收集。粒子的重力不计。
(1)求粒子射入磁场时的速度v的大小；
(2)求粒子运动到轨迹最高点的时间t及轨迹最高点到ab的距离；
(3)若粒子在磁场中运动到轨迹最高点时，磁感应强度突然变为B，粒子仍能打在收集板上，求半圆形区域半径可能的最小值。(共27张PPT)
专题课　带电粒子在有界磁场中的临界问题与多解问题
安培力与洛伦兹力
第一章
高中物理 选择性必修 第二册
必 备 知 识 练
1.如图所示，宽为d的带状区域内有垂直于纸面向外的匀强磁
场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为e的质子从A
点出发，与边界成60°角进入匀强磁场，要使质子从左边界飞
出磁场，则质子速度的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
A
【解析】作出不同速度情况下的质子的运动轨迹，如图所示，质子速度最大的临界状态是轨迹与右边界相切，由几何知识可得r＋rcos 60°＝d，解得r＝d，质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v＝，A正确。
2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场B，磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子以相同的速率v从原点O沿纸面内由从x轴负方向到y轴正方向之间的各个方向射入磁场区域。不计重力及粒子间的相互作用。用阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝，下列各图中，正确的是
(　　)
D
【解析】如图所示，从O点沿x轴负方向射入的粒子其运动轨迹为圆，与x轴相切于O点，在x轴上方，半径为R；沿y轴正方向射入的粒子其运动轨迹为半圆，在y轴右侧，与x轴交点距O点为2R；沿其余方向射入的带电粒子的运动轨迹最远处均在以O为圆心、半径为2R的圆周上；由以上分析并结合定圆旋转法，D正确。
3.(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直于OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直于纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是
(　 　)
A. B＞，垂直于纸面向里
B. B＞，垂直于纸面向里
C. B＞，垂直于纸面向外
D. B＞，垂直于纸面向外
BD
【解析】当磁场方向垂直于纸面向里时，离子运动轨迹恰好与OP相切的情况如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，解得r1＝s，由qvB1＝m，解得B1＝，即磁感应强度应大于；当磁场方向垂直于纸面向外时，其临界轨迹如图乙所示，由几何关系可知s＝r2＋，解得r2＝，由qvB2＝m，解得B2＝，即磁感应强度应大于，B、D正确，A、C错误。
4.(多选)如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q(不计重力)的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时与x轴的最大距离为a，则磁感应强度B的大小和该粒子的电性可能
是(　 　)
A. ，带正电 B. ，带正电
C. ，带负电 D. ，带负电
BC
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运
动，洛伦兹力提供向心力，qvB＝
m，得B＝。粒子在磁场中的运
动轨迹如图所示，若粒子带正电，运动轨迹为左侧圆弧轨迹，由几何关系知a＝PQ＝r(1－sin 30°)＝r，则B＝，B正确，A错误；若粒子带负电，运动轨迹为右侧圆弧轨迹，由几何关系知a＝P'Q'＝r(1＋sin 30°)＝r，则B＝，C正确，D错误。
5.如图所示，长为l的水平极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计重力)从两极板间的中点处垂直于磁场边界以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，求满足以上条件的粒子速度大小v的范围。
【答案】v＜或v＞
【解析】如图所示，由题意知，粒子不打在极
板上有两种情况：
①当粒子刚好打在上极板左边缘时，有r1＝，　
粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向
心力有qv1B＝m，解得v1＝，则粒子运动的速度范围应是v＜；
②当带电粒子刚好打在上极板右边缘时，有＋l2，又r＝，解得v2＝，则粒子运动的速度范围应是v＞；
故粒子运动的速度范围应是v＜或v＞。
关 键 能 力 练
6.如图所示，在水平面内存在半径为2R和半径为R的两个同心
圆，半径为R的小圆和半径为2R的大圆之间形成一环形区域。小圆和环形区域内分别存在垂直于纸面向里、向外的匀强磁场。小圆内匀强磁场的磁感应强度大小为B，位于圆心处的粒子源S沿水平面向各个方向发射速率均为v＝的带正电的粒子， 粒子的电荷量为q、质量为m，为了将所有粒子束缚在半径为2R的
大圆内，环形区域的磁感应强度大小至少为(　　)
A. B B. B
C. B D. B
C
【解析】粒子在小圆内做圆周运动的半径为r0
＝＝R，由轨迹图可知，粒子从A点沿与OA
成30°角的方向射入环形区域，粒子恰好不射
出大圆时，粒子在环形区域中的轨迹圆与大圆
相切，设半径为r，由几何知识可知∠OAO2＝120°，由余弦定理可知(2R－r)2＝r2＋R2－2Rrcos 120°，解得r＝R，又qvB'＝m，解得B'＝B，C正确。
7.如图所示，在理想的虚线边界内有范围足够大的匀强磁场，ab、cd段水平，bc、de段竖直，且ab＝cd＝bc。在纸面内大量质子从a点垂直于ab以不同速率射入磁场，不计质子间的相互作用力和重力，则从边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时
间最长的质子的速率之比为(　　)
A. 3∶2 B. 36∶13
C. 9∶4 D. 36∶17
B
【解析】画出粒子的运动轨迹如图所示，设
bc长度为2L，则ab＝cd＝3L，从边界de垂直
射出的质子其运动轨迹如图中圆弧1所示，设
其半径R1，由几何关系可知R1＝ab＋cd＝6L；
设质子从bcd上的g点射出，运动轨迹圆的圆
心为O，当∠Oag最大时，∠aOg最小，运动
轨迹对应的圆心角最大，由t＝T＝可知粒子运动时间最
长，由几何关系可知，当粒子 从c点射出时，质子运动时间最长，轨迹如图中圆弧2所示，设其半径为R2，由几何关系可知，对三角形Obc有，解得R2＝L，由qvB＝m得v＝，可知质子在磁场中运动速率之比等于运动半径之比，所以从边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为v1∶v2＝R1∶R2＝36∶13，B正确。
8.如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场(边界无磁场)，线状粒子源从y轴左侧沿
x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电的粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长
为(　　)
A. B.
C. D.
C
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，
有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，
D为粒子射入点，E为粒子射出点，EF为
y轴上的垂线，当粒子在磁场中的运动轨
迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运
动的时间最长，由于sin α＝，要使圆
心角α最大，FE应最长，由图可知，当粒
子从y轴上的D'点射入、从x轴上的E'点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D'点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间tm＝·，解得tm＝，C正确。
拓 展 突 破 练
9.如图所示，半圆形区域内充满磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。在半圆形区域底部放置一个粒子收集板，收集板与直径ab完全重合，其中心O点有一个小孔。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从小孔沿与ab成60°角的方向射入磁场，经磁场偏转后在与小孔距离为d处被收集。粒子的重力不计。
(1)求粒子射入磁场时的速度v的大小；
(2)求粒子运动到轨迹最高点的时间t及轨迹最高点到ab的距离；
(3)若粒子在磁场中运动到轨迹最高点时，磁感应强度突然变为
B，粒子仍能打在收集板上，求半圆形区域半径可能的最小值。
【答案】(1)　(2)　d　(3)d
【解析】(1)设粒子的轨迹半径为r1，如图甲所示，由几何关系有r1sin 60°＝，解得r1＝d，
由qvB＝m，解得v＝。
(2)由qvB＝mr，解得T＝，则t＝T＝，h＝r1＋r1cos 60°＝d。
(3)当磁感应强度变为B'＝B后，由qvB'＝m，
解得粒子的轨迹半径r2＝r1＝d，
粒子的临界轨迹如图乙所示，由几何关系可得Rmin＝r2＋d。

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