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第三章《图形的相似》单元检测2026-2027学年上学期北师版九年级数学上册（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了比例的性质．根据比例的性质可设，，再代入化简，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 设，，
∴ ．
故选：A．
2．如图，，若，，则等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】解：∵，且，
∴，
∵，
∴．
3. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”．
如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（ ）
A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算．由题意知，，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，则，
∴，
故选：B．
如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m，
经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（ ）
A．m B．m C．m D．m
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，设小芳的身高为，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出的值即可，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．
【详解】设小芳的身高为米，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，
解得，
故选：．
如图，在平行四边形中，点E在边上，若，，且，
则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．证明，证明即可得到答案．
【详解】解：如图，四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
故选A．
6．在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
7. 如图，在中，点在边上，连接交于点，若，
则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，利用平行线判定，结合计算选择即可．
【详解】．∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，
车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，
则车宽的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答．
通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点P作，垂足为M，交于点N，
则，
设米，由得，，
∵四边形是矩形，
，
，
，
即，
，
，
，
解得，，
故选：B．
9 . 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝，E是BC的中点，若AE⊥BD于点F，M是DF的中点，
连接CM、AM，则下列正确的结论是 ( )
①FC＝CD②∠DBC＝∠FAM③EF＝CM④矩形ABCD的面积是2

A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①④
【答案】A
【分析】通过证明△ADF∽△EBF，可得DF＝2BF，由三角形中位线定理可得EF∥CM，EF＝CM，通过证明CM是DF的垂直平分线，可得CF＝CD，由直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠DBC＝∠FAM，通过证明△BCD∽△CMD，可得，可求BD的长，由勾股定理可求BC的长，即可求矩形ABCD的面积.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝，AD＝BC，AD∥CB，
∵E是BC的中点，M是DF的中点，
∴BC＝2BE＝2EC，DF＝2FM＝2DM，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴，
∴DF＝2BF，
∴BF＝FM＝DM，
∵BE＝EC，BF＝FM，
∴EF∥CM，EF＝CM，故③符合题意，
∴∠BFE＝∠BMC＝90°，且FM＝MD，
∴CM是DF的垂直平分线，
∴CF＝CD，故①符合题意，
∵∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝90°，∠ABD+∠BAF＝90°，
∴∠DBC＝∠BAF，
∵BF＝FM，∠AFB＝∠AFD＝90°，AF＝AF，
∴△ABF≌△AMF(SAS)
∴∠BAF＝∠FAM，
∴∠DBC＝∠FAM，故②符合题意，
∵∠BDC＝∠BDC，∠DCB＝∠DMC，
∴△BCD∽△CMD，
∴，
∴CD2＝BD DM＝3DM2＝2，
∴DM＝，
∴BD＝3DM＝，
∴BC＝＝＝2，
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝2，故④不合题意，
综上所述：①②③正确，④错误.
故选：A.
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是_____．
【答案】
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．利用比例线段的定理得到，然后利用比例的性质求即可．
【详解】解：根据题意得，即，
所以．
故答案为：．
为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，
使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．
此时，测得，，，则两岸间的距离是 ．
【答案】/米
【分析】根据垂直定义可得，然后证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则DF的长为 _____．
【答案】
【分析】根据四边形ABCD是矩形得AB＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°，由BC＝6，E是BC的中点得BE＝EC＝3，再证明△ABE∽△ECF，求出CF的长，再求DF的长．
【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°，
∵BC＝6，E是BC的中点，
∴BE＝EC＝3，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠CEF，
∵△ABE∽△ECF，
∴＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝4﹣＝ ，
故答案为：．
14 .如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，
能得出和相似的是： （填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】解：①，时，，故①符合题意；
②，时，，故②符合题意；
③，时， ，故③符合题意；
④，时，不能推出，故④不符合题意，
故答案为：①②③．
15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，
点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，
问经过 秒钟，与相似．
【答案】2或5/5或2
【分析】分和两种情况解答即可．
【详解】解：设P、Q运动时间为秒，
根据题意，，，则，
当时，则，即，
解得：；
当时，则，即，
解得：，
综上，当经过2或5秒钟，与相似．
故答案为：2或5．
如图，在矩形中，，的平分线交边于点E，于点H，
连接并延长交边于点F，连接交于点O，给出下列命题：
①；②；③；④，
其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）
【答案】①③④
【分析】根据矩形的性质得到，由平分，得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，得到等腰三角形求出，得到①正确；设，则，求出，得到，故②错误；通过角的度数求出和是等腰三角形，从而得到④正确；由即可证得，故③正确．
【详解】解：在矩形中，，
∵平分，
∴，
是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴．
∴，故①正确；
∴，
∴，
设，
则，
，
，故②错误；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
，
∴，故③正确．
故答案为：①③④．
三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，∠1＝∠B，AD＝4，AC＝6，求AB的长．
【答案】9
【分析】由条件可证明△ACD∽△ABC，于是可得，再代入已知数据即可求出AB的长．
【详解】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
∴AB＝9
故AB的长为9．
18. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，
设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，
，测得边离地面的高度，，求树高．
【答案】树高
【分析】本题考查了相似三角形的应用，先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，
∴，即树高．
如图，相交于点O，．
求证：；
已知，的面积为6，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）对顶角相等，结合，即可得出；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可．
掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，又，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得．
20．如图，的顶点坐标分别为，，．
作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的；
在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为．
在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查平移，位图图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键．
（1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可；
（2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可．
（3）根据中点坐标公式求出M的坐标，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，为所求图形；
（2）解：根据相似比可得，，
如图，为所求；
（3）解：根据题意，若M为边上的中点，
．
故答案为：．
21．如图，在正方形中，为边上一点，交于点．
求证：；
若，，求的长；
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论；
（2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，
，
，
，
，
．
（2）解：四边形为正方形，
．
，
，，
，
，
，解得：．
一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，
如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
求证：△AEF∽△ABC；
如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？
【答案】(1)证明见解析；
(2)当时，矩形EGHF的面积最大，最大面积是．
【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，
利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，
得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
【详解】（1）解：（1）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设EG＝a，
∵矩形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴EF＝120a，
∴矩形面积S＝a（120a）a2+120a（a﹣40）2+2400，
当a＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2，
即：当EG＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2．
23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）
【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，
然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB AD．
由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，
即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．
易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值．
【详解】（1）证明：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB．
∴
即AC2=AB AD．
（2）证明：∵E为AB的中点
∴CE=AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB
∴∠DAC=∠ECA
∴CE∥AD．
（3）解：∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴．
∵CE=AB
∴CE=×6=3．
∵AD=4
∴
∴．
24．【问题探究】
（1）如图1，在矩形中，点E为边的中点，连接，过点C作于点F．
① 求证：；
② 若，求的值．
【问题解决】
（2）如图2，矩形是一个大型植物园，点C为植物园的出口，的中点E为植物园的入口，
、、是三条观赏主道，于点F，交于点G，
其中区域以常绿针叶树为主，区域以落叶针叶树为主，区域以竹类为主，
区域以花卉植物为主，已知，，小丽现在植物园的出口C处，
求小丽沿路线到达入口E处所走的路程（即求的长）．
（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计）
【答案】①证明见解析；②；（2）
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质；
（1）①由矩形得到，，根据，得到，则，即可证明；
②由中点得到，根据，得到，则，据此解方程即可；
（2）延长交于，先证明，得到，设，则，再证明得到，代入即可得到，，则，最后求小丽沿路线到达入口E处所走的路程为．
【详解】解：（1）①证明：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵点E为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（负值已舍去）；
（2）延长交于，如图，
∵矩形，，
∴，，，，
∵点E为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴小丽沿路线到达入口E处所走的路程为．
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第三章《图形的相似》单元检测2026-2027学年上学期北师版九年级数学上册
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，若，，则等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”．
如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（ ）
A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间
如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m，
经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（ ）
A．m B．m C．m D．m
如图，在平行四边形中，点E在边上，若，，且，
则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7. 如图，在中，点在边上，连接交于点，若，
则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，
车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，
则车宽的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
9 . 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝，E是BC的中点，若AE⊥BD于点F，M是DF的中点，
连接CM、AM，则下列正确的结论是 ( )
①FC＝CD②∠DBC＝∠FAM③EF＝CM④矩形ABCD的面积是2

A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①④
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是_____．
为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，
使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．
此时，测得，，，则两岸间的距离是 ．
13．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则DF的长为 _____．
14 .如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，
能得出和相似的是： （填序号）．
15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，
点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，
问经过 秒钟，与相似．
如图，在矩形中，，的平分线交边于点E，于点H，
连接并延长交边于点F，连接交于点O，给出下列命题：
①；②；③；④，
其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，∠1＝∠B，AD＝4，AC＝6，求AB的长．
18. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，
设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，
，测得边离地面的高度，，求树高．
如图，相交于点O，．
求证：；
已知，的面积为6，求的面积．
20．如图，的顶点坐标分别为，，．
作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的；
在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为．
在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______．
21．如图，在正方形中，为边上一点，交于点．
求证：；
若，，求的长；
一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，
如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
求证：△AEF∽△ABC；
如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？
23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
24．【问题探究】
（1）如图1，在矩形中，点E为边的中点，连接，过点C作于点F．
① 求证：；
② 若，求的值．
【问题解决】
（2）如图2，矩形是一个大型植物园，点C为植物园的出口，的中点E为植物园的入口，
、、是三条观赏主道，于点F，交于点G，
其中区域以常绿针叶树为主，区域以落叶针叶树为主，区域以竹类为主，
区域以花卉植物为主，已知，，小丽现在植物园的出口C处，
求小丽沿路线到达入口E处所走的路程（即求的长）．
（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计）
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