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2025-2026 学年下学期高一数学学科阶段性作业
说明:1. 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 本试卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，在试题卷上作答不给分。
一、单项选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。每题只有一个选项是符合题目 要求。)
1. 已知 是两个不共线的单位向量， ，若 与 共线，则 ()
A. 6 B. -6 C. D.
2. 已知 为两个不同平面, 为两条不同的直线,下列命题不正确的是 ( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
3. 函数 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
4. 已知向量 、 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5. 如图,某同学为了测量抚河对岸的抚州融媒体中心电视塔塔高 时,选取与电视塔塔底 在同一水平面内两个测量基点 与 . 现测得 ,在点 测得塔顶 的仰角为 ,则塔高 ( )
A. B. C. D.
6. 如图， 内接于圆 ， 为圆 的直径， ， ， 平面 为 的中点，且异面直线 与 所成角为 ，则点 到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
7. 设非零向量 的夹角为 ,若 ,且不等式 对任意 恒成立,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知 中,设角 所对的边分别为 的面积为 ,若 ，则 的值为( )
A. B. C. 1 D. 2
二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。)
9. 已知 ，则( )
A. B. C. D.
10. 已知复数 的共轭复数为 ,则()
A. 为纯虚数
B. 满足 的复数 对应的点 在第一象限
C. 若方程 的一个根为 ,则
D. 若 ,则
11. 如图,圆锥 内有一个内切球 为底面圆 的直径,球 与母线 分别切于点 . 若 是边长为 2 的等边三角形, 为底面圆 的一条直径 ( 与 不重合),则下列说法正确的是 ( )
A. 球 的表面积为
B. 圆锥 的侧面积为
C. 四面体 的体积的取值范围是
D. 若 为球面和圆锥侧面的交线上一点,则 的最大值为
三、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分。)
12. 我国古代某数学著作中记载:“今有宛田，下周十六步，径八步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为:有一块扇形的田，弧长 16 步，其所在圆的直径是 8 步，则这块田的面积是_____ 平方步.
13. 三棱锥 中二面角 的平面角为 平面 ，则直线 与面 所成夹角余弦值为_____.
14. 已知函数 ，则以下正确命题的序号是_____.
① 若函数 的图象关于直线 对称，则 的值可能为 3 ；
② 若关于 的方程 在 上恰有四个实根，则 的取值范围为 ；
③ 若函数 的图象向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到的函数 为奇函数，则 的最小值是 1 ;
④ 若函数 在区间 上单调，则 .
四、解答题(本大题共 5 个小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(13分)在 中，角 的对边分别为 ，向量 ， ,且 .
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的面积.
16. (15 分) 已知函数 .
(1)求 的值；
(2)若 ,且 ,求 的值.
17. (15 分) 如图,在三棱台 中， 底面 ， 与 都是等腰直角三角形, 、 分别为 、 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求异面直线 与 夹角的余弦值.
18.(17 分)为弘扬中华民族优秀传统文化，春节前后，各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动.某地庙会每天 8 点开始,17 点结束. 通过观察发现,游客数量 (单位: 人) 与时间 之间，可以近似地用函数 ( , ) 来刻画，其中 , 8 点开始后, 游客逐渐增多, 10 点时大约为 350 人, 14 点时游客最多, 大约为 1250 人, 之后游客逐渐减少.
(1)求出函数 的解析式；
(2)腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了 950 幅福字， 计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字
19. (17 分) 在平面几何中, 三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点, 其定义如下: 记 的内角 所对的边分别为 内一点 到三边 的距离 满足 ,称点 为 的“莱莫恩点”.
(1)若在 中， ， ， ，求常数 的值；
(2)在(1)的条件下，若 ，求 ， 的值；
(3)若 ,且满足 ,试判断 的形状,并说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025-2026学年下学期高一数学学科阶段性作业
说明:1.本试卷共4页,19小题,满分150分,考试时间120分钟。
2.本试卷分为试题卷和答题卡,答案要求写在答题卡上,在试题卷上作答不给分。
一、单项选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分。每题只有一个选项是符合题目要求。)
1.已知是两个不共线的单位向量,,若与共线,则( )
A. 6 B. -6 C. D.
1．B【分析】由共线得,列方程求解k.
【解析】因为与共线,所以,所以,所以解得.故选：B
2.已知为两个不同平面,为两条不同的直线,下列命题不正确的是()
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
2．C【分析】由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理,以长方体为载体逐一分析即可得出结论．
【解析】对于A,若,则取内任意两条相交直线,使得,,又,则,,由线面垂直的判定定理得,故A正确；对于B,垂直于同一条直线的两个平面平行,故B正确；对于C,若,,如图,设,平面为平面,,设平面为平面,,则,故C错误；对于D,由面面垂直的判定定理可得,故D正确；选C．
3.函数,则下列结论正确的是( )
A.是偶函数 B.是奇函数
C.是奇函数 D.是奇函数
3．C【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得.
【解析】选项A:因为的定义域为R,又,所以是奇函数,故A错误；
选项B:因为的定义域为R,又,所以是偶函数,故B错误；
选项C:因为的定义域为R,又,所以是奇函数,故C正确；
选项D:因为的定义域为R,又,所以是偶函数,故D错误.故选：C.
4.已知向量、满足,且,则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4．A【解析】因为,且,由投影向量的定义,向量在上的投影向量为：.选A.
5.如图,某同学为了测量抚河对岸的抚州融媒体中心电视塔塔高时,选取与电视塔塔底在同一水平面内两个测量基点与.现测得,在点测得塔顶的仰角为,则塔高( )
A. B. C. D.
5．D【分析】在中,利用正弦定理求,再在直角中,求即可.
【解析】如图：在中,因为,,所以,又m,由正弦定理可得：（）.因为平面,平面,所以,又,所以为等腰直角三角形,且.所以.故选：D
6.如图,内接于圆,为圆的直径,,,平面为的中点,且异面直线与所成角为,则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6．C【分析】为中点,异面直线BE与AC所成角为,可得,由已知条件求解所需线段的长,设点A到平面BCE的距离为,由,求解即可.
【解析】AB为圆O的直径,AB＝5,BC＝3,∴,,CD⊥平面ABC,平面ABC,有,又∵,平面,∴平面,∵,平面,∴平面,为中点,连接,如图所示,E为AD的中点,,,平面,平面,,异面直线BE与AC所成角为,∴,,∴,,,,,到平面的距离为,∴,,,设点A到平面BCE的距离为,由,∴.故选：C
7.设非零向量的夹角为,若,且不等式对任意恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7．A【解析】根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立,然后结合函数的恒成立,列出不等式组,即可求解.
【解析】由题意,非零向量的夹角为,且,则,不等式对任意恒成立,所以,即,整理得恒成立,因为,所以,即,可得,即实数的取值范围为.故选：A.
8.已知中,设角所对的边分别为的面积为,若,则的值为( )
A. B. C. 1 D. 2
8．B【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：,通过余弦定理可将等式化简整理为,通过三角函数图像可知,同时通过基本不等式可知,即得,通过取等条件可知,,将其代入问题中即可求解答案.
【解析】已知由正弦定理可知：,,整理得：,两边同除得：,根据余弦定理得：,即,,,,当且仅当,即时等号成立.又,当且仅当时,等号成立.综上所述：且,故得：,此时且,,.选B
二、多项选择题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。)
9.已知,则( )
A.B. C. D.
9．BD【分析】先判断角终边所在位置,在判断其三角函数的符号,逐项判断即可.
【解析】因为,为第二象限角,故,得.故选：BD
10.已知复数的共轭复数为,则()
A.为纯虚数
B.满足的复数对应的点在第一象限
C.若方程的一个根为,则
D.若,则
10．CD
【分析】根据复数及其共轭复数相关定义、性质及几何意义对选项一一分析即可.
【解析】对于A,设,则,所以,当时为实数,所以A不正确.
对于B,,则,由题意,,整理得,
所以,且,解得或,或,点在第一象限或在轴上,所以B不正确.对于C,由题意,为方程的另外一根,所以,所以C正确.
对于D,由题意,复数对应的点在点的线段上,故,所以D正确故选：CD.
11.如图,圆锥内有一个内切球为底面圆的直径,球与母线分别切于点.若是边长为2的等边三角形,为底面圆的一条直径(与不重合),则下列说法正确的是()
A.球的表面积为
B.圆锥的侧面积为
C.四面体的体积的取值范围是
D.若为球面和圆锥侧面的交线上一点,则的最大值为
11．ACD【分析】A选项,正内切圆即为球的截面大圆,又正的边长为2,求出球的半径,得到球的表面积；B选项,利用圆锥侧面积公式进行求解；C选项,四面体被平面截成体积相等的两部分,设到平面的距离为,求出正三角形的边长和面积,求出；D选项,动点的轨迹是圆,可得,故,因此,由均值不等式得到,故D正确.
【解析】A选项,连接,等边三角形内切圆即为球的截面大圆,球心在线段上,
又等边三角形的边长为2,所以,,则球的半径,
所以球的表面积,故A正确；B选项,圆锥的侧面积,故B错误；
C选项,由题意可得四面体被平面截成体积相等的两部分,设到平面的距离为,球的半径,三角形为等边三角形,设其边长为,则,故,故三角形的面积为,即,故C正确；D选项,依题意,动点的轨迹是圆,所在平面与圆锥底面平行,令其圆心为,,故,是边,的中点,可得,,,则有,故,又,故,即,因此,由均值不等式,得,即,当且仅当时取“”,故D正确.故选：ACD
《2025-2026学年下学期高一数学学科阶段性作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C C A D C A B BD CD ACD
三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分。)
12.我国古代某数学著作中记载:“今有宛田,下周十六步,径八步,问为田几何？”译成现代汉语其意思为:有一块扇形的田,弧长16步,其所在圆的直径是8步,则这块田的面积是_____平方步.
12.32【分析】根据扇形的面积公式即可求解.
【解析】解：∵弧长16步,其所在圆的直径是8步,∴（平方步）．
13.三棱锥中二面角的平面角为平面,则直线与面所成
夹角余弦值为_____.
13.
解析：因为平面,则,过作的垂线,垂足落在直线上记作,又平面,所以,则二面角所成平面角等于直线与面所成夹角等于,即,故．
14.已知函数,则以下正确命题的序号是_____.
①若函数的图象关于直线对称,则的值可能为3；
②若关于的方程在上恰有四个实根,则的取值范围为；
③若函数的图象向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到的函数为奇函数,则的最小值是1;
④若函数在区间上单调,则.
14．②③【分析】根据函数的对称轴代入得出判断A,由根的个数可确定,据此判断B,平移后由函数为奇函数可得,可判断③,特殊值检验可判断④.
【解析】对于①,因为函数的图象关于直线对称,所以,则,因为,则的值不可能为3,故①错误；对于②,当时,,若在上恰有四个实根,则,解得,故②正确；对于③,由已知得,因为函数为奇函数,所以,即,因为,所以的最小值是1,故③正确；
对于④,当时,,因为,所以,所以函数在区间上不单调,故④错误．故选：②③．
四、解答题(本大题共5个小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(13分)在中,角的对边分别为,向量,,且.
(1)求的值；
(2)若,,求的面积.
15．(1)(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标表示及两角和的余弦公式求出,即可求出；
（2）由余弦定理求出,最后由面积公式计算可得.
【解析】（1）因为,,且,,
,又∵为内角,,······6分
（2）由余弦定理,得,解得或（舍去）,
故,所以···········13分
16.(15分)已知函数.
(1)求的值；
(2)若,且,求的值.
16.（1）（2）
【解析】（1）=·····4分
得=···········6分
（2）由化简得·········9分
又,且,即······11分
所以,得···············13分
所以）···15分
17.(15分)如图,在三棱台中,底面,与都是等腰直角三角形,、分别为、的中点.
(1)证明:平面；
(2)求异面直线与夹角的余弦值.
17．（1）见详解（2）
【分析】（1）取的中点,利用线面平行、面面平行的判定推理得证.
（2）取的中点,的中点,利用几何法求出异面直线的夹角余弦.
【解析】（1）在三棱台中,设的中点为,连接,由为的中点,得,又平面,平面,则平面,由为梯形的中位线,得,又平面,平面,则平面,而,平面,平面,因此平面平面,又平面,所以平面··············7分
（2）取的中点,的中点,连接、、、、,由,是中点,得四边形是平行四边形,则,又是中点,是中点,则,即就是异面直线与夹角···············10分
又底面,与都是等腰直角三角形,,则,,·······13分
因此,所以异面直线与夹角的余弦值为·········15分
18.(17分)为弘扬中华民族优秀传统文化,春节前后,各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动.某地庙会每天8点开始,17点结束.通过观察发现,游客数量(单位:人)与时间之间,可以近似地用函数(,)来刻画,其中,8点开始后,游客逐渐增多,10点时大约为350人,14点时游客最多,大约为1250人,之后游客逐渐减少.
(1)求出函数的解析式；
(2)腊月二十九,为了营造幸福祥和的氛围,该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字,计划选一时段分发给每位游客,为了保证在场的游客都能得到福字,应选择在什么时间赠送福字
18．(1),(2)选择在12点之前或16点之后两个时间,理由见解析
【解析】（1）由题意得,,且,故,故···········6分,又,,解得··········8分
故函数的解析式为,··········10分
（2）当时,,令,解得或,
解得或············15分结合函数图象及,可得或,
为了保证在场的游客都能得到福字,应选择在12点前或16点之后两个时间段赠送福字···17分
19.(17分)在平面几何中,三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点,其定义如下:记的内角所对的边分别为内一点到三边的距离满足,称点为的“莱莫恩点”.
(1)若在中,,,,求常数的值；
(2)在(1)的条件下,若,求,的值；
(3)若,且满足,试判断的形状,并说明理由.
19．(1)(2)(3)是等腰三角形,理由见解析
【解析】（1）已知,满足,故为直角三角形,面积,
又,且,所以,又,所以,解得·····4分
（2）以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,则,设,则到直线的距离,到直线的距离,故,由,即,得,解得···········8分
（3）若,则,整理得,
延长交于,则,所以,
又,所以,所以,即,
所以,又由得,所以,所以,由,得,整理得,即,所以,由正弦定理,得,又,故,,是等腰三角形····17分
方法2：取中点为,由,又,可得在线段上,
由奔驰定理（学生证明）,根据为“莱莫恩点”化简式子为,也即,由共线定理可知,代入得,、不共线,得,所以所以是等腰三角形.
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