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第22章《相似形》检测2026-2027学年上学期沪科版九年级数学上册（解析版）
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则的值是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等比性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C
2．如图，已知ABCDEF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（　 　）
A．6 B．5.5 C．4 D．4.5
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求BF．
【详解】解：∵ABCDEF，
∴，即，
∴BF＝4．
故选：C．
已知点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝10，那么AB的长是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用黄金分割比的定义即可求解．
【详解】由黄金分割比的定义可知
又AC＝10，
则
故选B．
如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m，
经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（　 　）
A．m B．m C．m D．m
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，设小芳的身高为，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出的值即可，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．
【详解】设小芳的身高为米，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，
解得，
故选：．
5. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（　 　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解，
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理．
【详解】解：A、∵，，
∴，不符合题意，
B、∵，，
∴，不符合题意，
C、根据无法得到，符合题意，
D、∵，
∴，
又∵，
∴，不符合题意，
故选：C．
6．在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　 　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．
已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，
则树高AB为（　 　）
A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m
【答案】D
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【详解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，
∴由勾股定理求得DE=40cm，
∴，
∴BC=15米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．
故答案为16.5m．
如图，在中，，高，正方形一边在上，
点分别在上，交于点，则的长为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．
【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20．
故选：B．
如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），
连接，作，交线段于点．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，为的中点．
则下列说法正确的是（　 　）
A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确
C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，即可，即可判断甲；证明即可判断乙；证明，由等腰三角形的性质即可判断丙；据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故甲同学说法正确；
若，
∵，
∴，
∴，故乙同学说法正确；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为的中点，故丙同学说法正确；
综上，三个同学说法都正确，
故选：．
如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，
与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　 　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【分析】①正确．证明，即可判断．
②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．
③正确．作于，设，，则，，通过计算证明即可解决问题．
④错误．设的面积为，由，推出，，推出的面积为，的面积为，推出的面积的面积，由此即可判断．
【详解】∵四边形是正方形，
，，
∵，
，
，
在与中，
，
，
；故①正确；
∵，
，
∵，
，
，
，
∵，
，
；故②正确；
作于，设，，则，，
由，可得，
由，可得，
，
∵，
，
，
∵，，
，
∵，
；故③正确，
设的面积为，
∵，
，，
的面积为，的面积为，
的面积的面积，
，故④错误，
故选C．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．若，则的值是 ．
【答案】
【分析】设，可分别表示出、和，代入原式可直接求得结果．
【详解】解∶设
则 ，，
．
故答案为∶．
12．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则AB的长为___________
【答案】4
【分析】根据相似三角形有对应边成比例，代入各数据可得答案.
【详解】解：由题意知: DE∥BC△ABC∽△ADE,
,即，
可得AB=4，
故答案为4
13 .如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，
能得出和相似的是： （填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】解：①，时，，故①符合题意；
②，时，，故②符合题意；
③，时， ，故③符合题意；
④，时，不能推出，故④不符合题意，
故答案为：①②③．
如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．
手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，
落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，
灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．
已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上．
的长为___________．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键．
证明即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
故，即，
，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，
点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，
问经过 秒钟，与相似．
【答案】2或5/5或2
【分析】分和两种情况解答即可．
【详解】解：设P、Q运动时间为秒，
根据题意，，，则，
当时，则，即，
解得：；
当时，则，即，
解得：，
综上，当经过2或5秒钟，与相似．
故答案为：2或5．
如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则＝ ．
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
=．
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图，在中，在边上，连接，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案．
【详解】证明：，，
，
，
，
．
18. 受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．
如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，
然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，
此时量得．
求证：．
求河宽的长．
【答案】(1)证明：由题可知，，
(2)
【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证；
（2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解．
【详解】（1）证明略
（2）解：由题可知，，，，
，
，即，
，
答：河宽为．
19．如图，相交于点O，．
(1)求证：；
(2)已知，的面积为6，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）对顶角相等，结合，即可得出；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可．
掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，又，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得．
所以的面积为．
20．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
在坐标系中画出关于y轴的对称图形；
在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与位似比为2的位似图形；
求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）根据纵不变，横相反，确定对称点的坐标，依次连接各点，得到所求三角形；
（2）根据位似比，确定坐标的绝对值，结合位置，确定坐标，依次连线，得到所求三角形；
（3）先计算，利用面积之比等于相似比的平方，计算即可．
【详解】（1）∵的顶点坐标分别为、、，
∴各点关于y轴的对称点坐标依次为(0，2)，(-1，3)，(-2，1)，
画图如下：
则即为所求．
（2）∵的顶点坐标分别为、、，
∴位似比为2时的位似点坐标依次为(0，-4)，(-2，-6)，(-4，-2)，
则即为所求．画图如下：
（3）∵=，位似比为2，
∴．
21. 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，
如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
求证：△AEF∽△ABC；
如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？
【答案】(1)证明见解析；
(2)当时，矩形EGHF的面积最大，最大面积是．
【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，
利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，
得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
【详解】（1）解：（1）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设EG＝a，
∵矩形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴EF＝120a，
∴矩形面积S＝a（120a）a2+120a（a﹣40）2+2400，
当a＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2，
即：当EG＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2．
22．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）
【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，
然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB AD．
由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，
即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．
易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值．
【详解】（1）证明：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB．
∴
即AC2=AB AD．
（2）证明：∵E为AB的中点
∴CE=AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB
∴∠DAC=∠ECA
∴CE∥AD．
（3）解：∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴．
∵CE=AB
∴CE=×6=3．
∵AD=4
∴
∴．
如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，
速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，
连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．解答下列问题：
（1）AP＝　 　，AQ＝　 　；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）点P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（5﹣t）cm，tcm；（2）t的值为或时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似；（3）当t的值为或或时，△APQ能成为等腰三角形
【分析】（1）由勾股定理得，再由题意得，，则；
（2）分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；
（3）分三种情况：，和，根据等腰三角形的性质，运用相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：，
由题意得：，，
，
故答案为：，；
（2）分两种情况：
①如图1，
当时，，
则，
即，
解得：；
②如图2，
当时，，
则，
即，
解得：；
综上所述，的值为或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）能成为等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①如图3，
当时，
，
解得：；
②如图4，
当时，过点作于，
则，，
，
，
，
，
解得：；
③如图5，
当时，过点作于，
则，，
，
，
，
解得：，
综上所述，当的值为或或时，能成为等腰三角形．
24．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．
点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）成立；理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）略
（2）略
（3）,
,
,
是等腰直角三角形

是等腰直角三角形
又
即
解得．
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第22章《相似形》检测2026-2027学年上学期沪科版九年级数学上册
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则的值是（　 　）
A． B． C． D．
2．如图，已知ABCDEF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（　 　）
A．6 B．5.5 C．4 D．4.5
已知点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝10，那么AB的长是（　 　）
A． B． C． D．
如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m，
经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（　 　）
A．m B．m C．m D．m
5. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（　 　）
A． B．
C． D．
6．在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　 　）
A． B．
C． D．
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．
已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，
则树高AB为（　 　）
A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m
如图，在中，，高，正方形一边在上，
点分别在上，交于点，则的长为（　 　）
A． B． C． D．
如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），
连接，作，交线段于点．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，为的中点．
则下列说法正确的是（　 　）
A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确
C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确
如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，
与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　 　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．若，则的值是 ．
12．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则AB的长为___________
13 .如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，
能得出和相似的是： （填序号）．
如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．
手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，
落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，
灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．
已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上．
的长为___________．
15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，
点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，
问经过 秒钟，与相似．
如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则＝ ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图，在中，在边上，连接，，，，求证：．
18.你受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．
如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，
然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，
此时量得．
求证：．
求河宽的长．
19．如图，相交于点O，．
求证：；
已知，的面积为6，求的面积．
20．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
在坐标系中画出关于y轴的对称图形；
在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与位似比为2的位似图形；
求出的面积．
21. 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，
如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
求证：△AEF∽△ABC；
如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？
22．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，
速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，
连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．解答下列问题：
（1）AP＝　 　，AQ＝　 　；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）点P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
24．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．
点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
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