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苏科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.4.2角平分线的性质第一章三角形苏科版八年级上册1.4.2角平分线的性质同步练习题核心知识点：角平分线的定义：将一个角分成两个相等角的射线。角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。此性质可直接用于证明垂线段相等，无需证明三角形全等，是几何计算与证明的高频考点，重点区分“角平分线上的点”与“点到两边的垂直距离”两个关键条件。一、选择题（每题4分，共20分）1.角平分线上任意一点到角两边的（）相等。A.线段长B.距离C.斜边长D.路径长2.已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=5，则PN的长为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 103.下列能直接用角平分线性质定理得出结论的是（）A.点在角内，任意两条线段相等B.点在角平分线上，且垂直角两边，垂线段相等C.角平分线可平分对边D.角平分线上的线段都相等4.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，下列式子正确的是（）A. DE=DF B. AD=DE C. DE=BC D. AD=DF5.三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离（）A.都相等B.都不相等C.两两相等D.无法确定二、填空题（每题4分，共20分）6.角平分线上的点到角________的距离相等。7.若OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，则PA________PB。8.角平分线性质使用的前提：点在角平分线上、线段与角两边________。9.三角形角平分线交点叫做三角形的________，到三边距离相等。10.已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，则∠AOC=________°。三、解答题（共60分）11.（12分）已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB。求证：PM=PN。12.（14分）如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，BD=4cm，求CD的长度。13.（16分）在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，AC=6cm，求AE的长。14.（18分）已知：BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC，求证：DE=DG。参考答案及解析选择题：1.B 2.C 3.B 4.A 5.A解析：1.角平分线核心性质为点到角两边距离相等；2.依据性质定理，垂线段PN与PM相等，长度为5；3.定理使用必须满足三点：点在平分线上、垂直两边、距离相等；4. AD为角平分线，DE、DF为两边垂线段，故DE=DF；5.三角形内心性质，三条角平分线交点到三边距离相等。填空题：6.两边7. = 8.垂直9.内心10. 30解答题：11.证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POM=∠PON，又PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，OP=OP，可证△OPM≌△OPN（AAS），得PM=PN。12.解：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，由角平分线性质得CD=BD=4cm。13.解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，可证△ACD≌△AED，∴AE=AC=6cm。14.证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF；∵CD平分∠ACB，DF⊥BC，DG⊥AC，∴DF=DG，等量代换得DE=DG。操作引入
在一张薄纸上画∠AOB，折叠画出角平分线．
B
A
O
新知探究
角平分线上的任意一点P到角两边的距离有什么关系？如何证明？
B
A
O
C
D
P
●
证明：∵ PC⊥OA，PD⊥OB，
∴ ∠PCO＝∠PDO＝90 °.
∵OP是∠AOB的角平分线
∴∠COP＝∠DOP
在△COP和△DOP中，
∴ △PCO ≌△PDO(AAS).
∴PC＝PD.
新知归纳
角平分线上的点到角两边的距离相等．
角平分线的性质定理：
任意一点
新知归纳
符号语言：
O
A
B
P
C
D
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD
（角平分线上的点 到角两边的距离相等）.
●
用途：
证明线段相等.
注意：一定要表明是两条垂线段.
讨论交流
如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？如何证明？
O
B
A
C
D
Q
●
证明：连接OQ．
∵QC⊥OA，QD⊥OB，
∴∠OCQ＝∠ODQ＝90°．
在Rt△OCQ 和Rt△ODQ 中，
∴ Rt△OCQ≌Rt△ODQ (HL)．
∴ ∠COQ∠DOQ．
∴ 点Q在∠AOB 的平分线上．
新知归纳
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线性质定理的逆定理：
角平分线是到角两边距离相等的点的集合.
新知归纳
∵QC＝QD，QC⊥OA，QD⊥OB，
∴点Q在∠AOB的平分线上 .
（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）.
符号语言：
用途：
确定点在角平分线上，即可以判定角平分线.
O
A
B
Q
C
D
注意：一定要表明是两条垂线段.
（第1题）
1.如图，平分，在上取一点，过点
作于点，若，则点到 的距离
为( )
C
A.5 B.6
C.7 D.8
返回
典例分析
例1 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上．
P
A
B
D
E
F
N
M
C
AD是∠BAC的平分线
PF＝PN
BE是∠ABC的平分线
PF＝PM
PM＝PN
点P在∠C的平分线上
典例分析
例1 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上．
P
A
B
D
E
F
N
M
C
证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分
别为F，M，N．
∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC．
∴PF＝PN（角平分线的性质定理）.
同理PF＝PM．
∴ PM＝PN．
∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴点P在∠C的平分线上（角平分线的性质定理的逆定理）.
归纳总结
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知角平分线时，常考虑将角平分线上的点到角两边的距离作出来.
典例分析
例2 利用网格画图：
(1) 在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；
A
B
C
●
P
典例分析
例2 利用网格画图：
(2) 在射线AP上找一点Q，使QB＝QC.
A
B
C
●
P
●
Q
典例分析
例3 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．
A
F
E
C
B
D
1
2
3
4
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4.
∴DE＝DF，AE＝AF（角平分线的性质定理）.
∴点D、A在EF的垂直平分线上
（线段垂直平分线性质定理的逆定理）.
∴AD垂直平分EF.
讨论交流
如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF，CD与EF相交于点P．连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么？
A
B
O
C
D
E
F
P
●
M
N
解：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，
垂足分别为M，N．
∵尺的宽度相等，
∴PM＝PN．
在Rt△OPM 和Rt△OPN 中，
∴ Rt△OPM≌Rt△OPN (HL)．
∴ ∠POM＝∠PON．
∴ OP平分∠AOB．
（第2题）
2. 如图，在纸上画有 ，将两把直
尺按图示摆放，直尺边缘的交点在 的平
分线上，则( )
A
A.与一定相等 B.与 一定不相等
C.与一定相等 D.与 一定不相等
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3. 如图是某校的局部平面图，学校有三条小路,
和，已知,与, 相交.学校计划修建一个亭子，使其到
小路,, 的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有___处.
2
（第3题）
返回
4.如图，在中， ，平分， 于点
，如果，，则 的长为___.
5
（第4题）
返回
5.如图，是内一点，且点到三边，， 的距离
.若 ，则 的度数为______.
（第5题）
返回
6. 如图，利用网格作图：
（1）在上找一点，使点到和 的距离相等；
解：如图，点 即为所求.
（2）在射线上找一点，使 .
解：如图，点 即为所求.
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7.如图，平分，，点在上，且 于点
，于点 .
（1）求证： ；
解：证明：平分 ，
.
在和中，
.
.
（2）判断与 的大小关系，并加以证明.
解：.证明：由（1）得 ，
，即为 的平分线.
又，， .
返回
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
两距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段的长度相等.
判定定理
两相等：两条垂线段的长度相等;
两距离：点到角两边的距离；
一个点：角平分线上的点.
常用辅助线：过角平分线上一点向角两边作垂线段.

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