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苏科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.1.1勾股定理的发现第三章勾股定理3.1.1勾股定理的发现一、勾股定理基本定义在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长为$$a、b$$，斜边长为$$c$$，则公式为：$$a^2+b^2=c^2$$。其中：短直角边称为勾，长直角边称为股，斜边称为弦。二、中国最早发现：商高定理（西周）我国是世界上最早发现并研究勾股关系的国家。早在西周时期，数学家商高最早提出勾股特例。典籍记载：出自《周髀算经》，原文：“勾广三，股修四，径隅五。”含义：当直角三角形两条直角边长分别为3和4时，斜边长为5，满足$$3^2+4^2=5^2$$。因此，勾股定理在中国又被称为商高定理。后续春秋数学家陈子完善规律，首次总结出通用文字结论：勾、股各自乘，并而开方除之，即弦，完整概括了勾股定理的通用计算方法。三、西方发现：毕达哥拉斯定理（古希腊）公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯独立发现并系统证明了这一定理。相传他发现该定理后十分欣喜，宰杀百牛用以庆祝，因此该定理在西方也被称为百牛定理，国际上统一命名为毕达哥拉斯定理。相较于中国的早期特例发现，毕达哥拉斯是西方首个完成体系化证明的数学家。四、其他古老文明的早期应用1.古巴比伦考古出土的古巴比伦泥板中，记载了多组复杂勾股数（5、12、13等），其研究年代早于毕达哥拉斯，证明古巴比伦人早已熟练掌握勾股数的数量规律。2.古埃及古埃及工匠、测绘人员利用“3、4、5”绳结法构造直角，用于农田丈量、金字塔建造等实际工程，是勾股定理在生活中的最早实用应用，但未形成系统数学定理。五、中外经典证明补充1.中国赵爽弦图：三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注，独创弦图面积证法，是我国最经典、教材必考的勾股定理证明方法，简洁严谨，为后世广泛沿用。2.西方演绎证明：以毕达哥拉斯、欧几里得的几何证明为代表，形成了西方几何体系下的标准证明思路。六、核心考点总结1.最早发现勾股特例的国家：中国（商高，勾三股四弦五）；2.中国别称：商高定理，西方别称：毕达哥拉斯定理、百牛定理；3.定理核心：仅适用于直角三角形；4.发展历程：从特例应用→文字总结→严谨几何证明。七、基础例题例题：已知直角三角形两条直角边为3和4，求斜边长。解：由勾股定理得：$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$，斜边长为5。
探索思考
如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？
B
A
C
D
E
I
F
G
H
9
16

用“补”的方法
探索思考
如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？
B
A
C
D
E
I
F
G
H
9
16

S正方形AEDB＝7×7－4×S△ABC
＝49－4××3×4
＝25．
探索思考
如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？
B
A
C
D
E
I
F
G
H
9
16
用“割”的方法
探索思考
如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？
B
A
C
D
E
I
F
G
H
9
16
S正方形AEDB＝4×S△APB＋1×1
＝4××3×4＋1
＝25．
P
探索思考
如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？
B
A
C
D
E
I
F
G
H
9
16
25
S正方形AEDB＝S正方形BHIC＋S正方形ACFG
AB2
BC2
AC2
＝
＋
即Rt△ABC两条直角边的平方和等于斜边的平方.
讨论交流
在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法找出三个正方形面积之间的关系，并与同学交流．
新知归纳
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
C
A
B
勾股定理
为什么叫“勾股”定理呢？
知识链接
股修四
股方之矩
勾广三
勾方之矩
径
隅
五
荣方：“矩何以测天？”
陈子：“勾股各自乘，开方除之得弦．此矩道之极也．”
勾的平方＋股的平方＝弦的平方
周髀算经
新知归纳
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
C
A
B
勾股定理
又叫商高定理
勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理，在古希腊，人们利用勾股定理发现了无理数.
新知归纳
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理
C
A
B
a
b
c
符号语言：
则 a2＋b2＝c2.
在Rt△ABC中，若∠C＝90°，
新知归纳
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理
C
A
B
a
b
c
勾股定理只适用于直角三角形，其揭示的是直角三角形三边长之间的平方关系．
典例分析
例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长．
5
12
c
(1)
解：(1)根据勾股定理，得
122＋5 ＝c2，
即 c2＝169．
所以 c＝＝13．
典例分析
5
b
2
(2)
解：(2)根据勾股定理，得
22＋b ＝52，
即 b2＝21．
所以 b＝．
例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长．
典例分析
例2 如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为411.5m．求梯子顶端距地面的高度h．
解：根据勾股定理，得
1.52＋h ＝2.52，
即 h2＝4．
所以 h＝2．
答：梯子顶端距地面的高度为2m．
新知巩固
1. 求下列直角三角形中未知边的长．
5
x
13
8
15
x
x
12
15
x＝12
x＝17
x＝9
典例分析
例3 在数轴上画出对应的点．
0
1
-1
2
3
-2
解：如图，画一个直角边分别为2和1的直角三角形．
由勾股定理知，斜边为．以原点为圆心，斜边长为半径
画弧，与数轴正半轴交于点P，则P为对应的点．
P
1.在中，,,的对边长分别为,,，若 ，则下列
等式中错误的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2.如图，在中， ， ，则
的值是( )
C
A.10 B.34
C.25 D.41
返回
3.如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为， ，
，且，，则 ____.
12
（第3题）
返回
4. 如图，在下列横线上填上适当的值：
（第4题）
____；____； ___.
10
2.5
9
返回
5. 若一个长方体的长、宽、高分别为4，3，5，则这个长方体的
对角线长为_____.
返回
6.若直角三角形两直角边长的比为 ，斜边上的中线长为10，则此直
角三角形的面积为____.
96
返回
7.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，各点均在网格线的交
点处，则与点的距离为 的点是____.
（第7题）
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8. 如图，数轴上的点表示的数是0，点 表示的数是2，
，垂足为，且，以为圆心， 长为半径画弧，交数
轴于点，则点 表示的数为________.
返回
9.如图，在中， ，， .
（1）求 的值；
解：在中， ，
， ，
.
（2）过点作，垂足为，求 的值.
解：， ，
.
.
在中， .
返回
（第10题）
10.如图，点在的高上，且 和
都是等腰直角三角形，若， ，
则 的长为( )
D
A.17 B.15
C.14 D.13
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