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苏科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.2勾股定理的逆定理第三章勾股定理3.2勾股定理的逆定理一、勾股定理的逆定理内容如果三角形的三边长$$a、b、c$$满足关系式：$$a^2+b^2=c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边$$c$$所对的角为直角。核心区别：勾股定理（正定理）：已知直角三角形→推出$$a^2+b^2=c^2$$（性质）。勾股定理逆定理：已知三边关系→判定直角三角形（判定）。二、判定直角三角形解题步骤（考试标准步骤）1.找最长边：比较三边大小，确定最长边为$$c$$；2.算平方和：计算两条短边的平方和$$a^2+b^2$$，以及最长边的平方$$c^2$$；3.比较判断：若$$a^2+b^2=c^2$$，为直角三角形；否则不是直角三角形。三、勾股数1.定义：满足$$a^2+b^2=c^2$$的三个正整数，称为一组勾股数。2.常见基础勾股数（必背）：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、173.勾股数性质：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，仍然是勾股数。例：3、4、5同时扩大2倍得6、8、10，依然满足直角三角形关系。四、拓展：三角形形状快速判定设三角形三边长为$$a、b、c$$（$$c$$为最长边）：1. $$a^2+b^2=c^2$$→直角三角形2. $$a^2+b^2>c^2$$→锐角三角形3. $$a^2+b^2<c^2$$→钝角三角形五、典型例题解析例1：判断边长为5、12、13的三角形是否为直角三角形。解：最长边$$c=13$$，$$5^2+12^2=25+144=169$$，$$13^2=169$$，因为$$5^2+12^2=13^2$$，所以该三角形为直角三角形。例2：判断三边长为4、6、7的三角形形状。解：最长边$$c=7$$，$$4^2+6^2=16+36=52$$，$$7^2=49$$，$$52>49$$，即$$a^2+b^2>c^2$$，为锐角三角形。六、易错重难点总结1.必须以最长边的平方作为对比对象，不能随便取值判断；2.勾股数必须是正整数，小数、分数满足关系也不是勾股数；3.逆定理只能判定直角三角形，不能直接用于求边长；4.正定理、逆定理互为互逆命题，做题注意区分已知条件。新知探究
逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的内容是什么？你能说出它的逆命题并判断真假吗？
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
新知探究
逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
条件
结论
分析：1. 这个命题的条件是什么？结论是什么？
2. 直角三角形的判定方法有哪些？
3. 如何构造一个已知是直角三角形的图形，这个图形的边长与已知三角形的边长有直接关系？
有一个角是直角．
构造辅助直角三角形与原三角形的边长对应相等．
新知探究
已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ，且a2＋b2＝c2．
求证：△ ABC是直角三角形．
A
b
a
C
B
c
证明：作一个△A′B′C′，使∠C′＝90°，
B′C′＝a， A′C′＝b．
根据勾股定理，得 A′B′ 2＝a2＋b2.
∟
A′
b
a
C′
B′
因为 AB2＝a2＋b2，所以A′B′＝AB
根据“SSS”，可知△ABC ≌△A′ B′ C′ .
于是，∠C＝∠C′＝90°，△ABC是直角三角形．
新知归纳
C
A
B
a
b
c
如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理
符号语言：
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长
分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2．
∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.
典例分析
例1 △ABC的三边长分别是a，b，c且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，n＞1．△ABC是直角三角形吗？证明你的结论．
最长边
证明：是直角三角形，
∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1．
c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1．
∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形.
讨论归纳
判断一个三角形是否是直角三角形有哪些方法？
用角判定：
1．两个锐角互余的三角形是直角三角形；
2．有一个角是90°的三角形是直角三角形．
用边判定：
如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断．
1. 下列四组数中，是勾股数的是( )
C
A.，， B.，，
C.3，4，5 D.,,
返回
2. 在中，，，所对的边分别是，， ，由下
列条件不能判定 为直角三角形的是( )
B
A. B.
C. D.,,
返回
新知应用
你知道古埃及人构造的三角形为什么是直角三角形了吗？
3份
4份
5份
如图，∵32＋42＝52，
∴这个三角形为直角三角形．
新知归纳
如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，则称a，b，c为勾股数．
勾股数必须同时满足两个条件：
1．三个数都是正整数；
2．两个较小数的平方和等于最大数的平方．
写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律．
典例分析
例2 已知：a，b，c为正整数，且a2＋b2＝c2．
求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数．
证明：∵a2＋b2＝c2，
∴(ka)2＋(kb)2＝k2a2＋k2b2
＝k2(a2＋b2)
＝k2c2＝(kc)2．
∵a，b，c，k为正整数，
∴ka，kb，kc为正整数.
∴ka，kb，kc构成勾股数.
典例分析
例3 如图，AD是△ABC的中线，AD＝24，AB＝26，BC＝20．
求AC的长．
A
B
C
D
A
B
D
解：∵AD是△ABC的中线，BC＝20，
∴BD＝DC＝BC＝10．
∵AD＝24，AB＝26，
∴AD2＋BD2＝242＋102＝676，
AB2＝262＝676．
∴AD2＋BD2＝AB2．
∴∠ADB＝90°(勾股定理的逆定理)．
∴AD垂直平分BC．
∴AC＝AB＝26 ．
讨论归纳
勾股定理与其逆定理有什么区别与联系？
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
条件
结论
区别
联系 A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C＝90°
a2＋b2＝c2
“直角三角形”为条件，数量关系a2＋b2＝c2为结论. 是直角三角形的性质.
A
b
a
C
B
c
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
在△ABC中，a2＋b2＝c2
∠C＝90°
数量关系a2＋b2＝c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定.
形
数
3.若一个三角形的三边长，，满足 ，则这个三
角形是______三角形.
直角
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4.如图，中，，，，是 边上的中
线.则 ____.
6.5
（第4题）
返回
5.如图，已知 ，，， ，则
_____.
（第5题）
返回
6.如图，在中，，，， .
（1）求 的长；
解：， .
在中，， ，
.
（2）求证： .
解：证明：， ，
.
在中， ，
，
.
是直角三角形，且. .
返回
7.如图，在 的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，四边形
的顶点都在格点上.
（1） 是不是直角？请说明理由；
解： 是直角.理由如下：
如图，连接 .
， ，
，
.
是直角.
（2）求四边形 的面积.
解：如图， .
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（第8题）
8. 如图，在正方形网格中，每个小
正方形的边长都是1，点，，，， 均在小正方形
网格的格点上，线段，交于点，若 ，
则 等于( )
C
A. B.
C. D.
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（第9题）
9.如图，已知在四边形中， ，
， ，， ，
则这个四边形的面积为( )
A
A.96 B.78
C.108 D.120
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10. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正
整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算
术》.现有勾股数，，，其中，均小于， ，
，是大于1的奇数，则___（用含 的式子表示）.
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11.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点， ，
且 .
（1）求证： ；
解：证明：如图，连接的垂直平分线分别交,于点 ,
， .
， .
是直角三角形，且 .
（2）若,，求 的长.
解：,，且， ,
.
.
.
由（1）知 ，
.
返回
勾股定理的逆定理
内容
如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，
那么这个三角形是直角三角形．
勾股数
如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，
则称a，b，c为勾股数．
应用
判定三角形是否为直角三角形．
勾股定理及其逆定理的综合应用．

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