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苏科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.3.1勾股定理的实际应用第三章勾股定理3.3.1勾股定理的实际应用核心思想：生活中的实际问题，大多没有直接给出直角三角形，解题关键是构造直角三角形，利用$$a^2+b^2=c^2$$求解边长、距离、高度等未知量。一、通用解题步骤（考试标准步骤）1.建模：根据题意画出示意图，从实际场景中抽象出直角三角形；2.定边：分清直角边、斜边，标注已知边长；3.列式：代入勾股定理公式计算；4.作答：结合实际情境写出最终答案。二、四大必考经典模型模型1：高度问题（竹竿、树木、楼房）场景：物体垂直地面，构成直角。竖直高度、水平距离为直角边，斜长为斜边。例题：一棵大树在离地面3米处折断，树顶落在离树根4米处，求大树原高。解：折断部分、地面、剩余树干构成直角三角形。直角边：3m、4m，折断斜长$$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$$（m）树原高：$$3+5=8$$（m）答：大树原来高度为8米。模型2：航行、方位距离问题场景：轮船、小车先向东（西）、再向北（南）行驶，两段路程互相垂直，可构造直角三角形求直线距离。例题：一艘船从港口出发，向东行驶6km，再向北行驶8km，此时船离港口直线距离多远？解：东西、南北方向垂直，构成直角三角形。直线距离$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$（km）答：船离港口直线距离为10km。模型3：折叠问题（几何应用高频）核心性质：折叠前后对应边长相等、对应角相等，利用“等长代换”在直角三角形中列方程。例题：长方形纸片长8，宽4，将一角折叠，使顶点落在对边上，利用勾股定理可设未知数建立方程求解折痕长度、剩余边长。解题技巧：遇折叠必设$$x$$，用边长和差表示另一条边，套勾股定理列方程。模型4：最短路径问题原理：两点之间线段最短。立体图形（长方体、圆柱）展开为平面图形，构造直角三角形求最短路径。口诀：立体变平面，拉直找斜边。三、方程思想（重难点）实际应用中，若已知条件不足、边长未知，统一使用勾股方程法：1.设未知边长为$$x$$；2.用含$$x$$的代数式表示另一条边；3.根据$$a^2+b^2=c^2$$列方程求解。四、常见易错点1.审题不清：分不清直角边和斜边，乱用公式；2.忘记还原实际长度：如树高需要加上剩余竖直部分；3.非直角三角形不能用勾股定理，必须先确认垂直关系；4.立体图形不展开，直接胡乱计算路径。五、考点总结勾股定理实际应用本质：现实场景→抽象Rt△→代入公式求解。四大必考题型：高度折断问题、方位行程问题、折叠边长问题、立体最短路径问题。问题引入
甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2:1和16:9，哪款手机的屏幕面积更大？(1英寸≈2.54 cm)
长宽比
2. 对于甲手机：设宽为 x 英寸，则长为______英寸；
对于乙手机：设宽为9y英寸，则长为________英寸．
x
9y
2x
2x
16y
16y
新知探究
甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2:1和16:9，哪款手机的屏幕面积更大？(1英寸≈2.54 cm)
解：设甲手机屏幕的长、宽分别为2x英寸，x英寸，乙手机屏幕的长、宽分别
为16y英寸，9y英寸．根据勾股定理，得
　甲：(2x)2＋x2＝5.52，解得x2＝6.05，
屏幕面积：2x×x＝2x2＝2×6.05＝12.1平方英寸；
乙： (16y)2＋(9y) ＝5.42，解得y2＝，
屏幕面积：16y×9y＝144y2＝144×≈12.5平方英寸．
∵12.1＜12.5
∴乙手机屏幕的面积更大.
1.某公园里新修建了两座观景塔，观景塔A的高度为 ，观景塔B的高
度为，两座塔之间隔着一条 宽的人工湖，维修工人需要使用绳
索从观景塔A的塔顶滑到观景塔B的塔顶进行设备检修，那么这条绳索
最短（接头处忽略不计）需要( )
D
A. B.
C. D.
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2.如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长
为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为_____.
（第2题）
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知识链接
屏幕类型 常见比例 面积效率 应用场景
传统屏幕 4:3 92.3% 显示器
高清屏幕 16:9 98.2% 电视/手机
全面屏 19.5:9 94.7% 智能手机
折叠屏 1:1 100% 智能手表
你知道吗？
典例分析
例1 《九章算术》中有一个“折竹”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何 ”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺),中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高
x
10－x
3
┐
B
C
A
典例分析
例1 《九章算术》中有一个“折竹”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何 ”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺),中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高
解：如图，竹子在点B处折断，竹梢点A着地，
△ABC是直角三角形．
设BC的长为x尺，则AB的长为(10－x)尺．
由勾股定理，得 x2＋32＝(10－x)2．
解得 x＝4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
x
10－x
3
┐
B
C
A
新知巩固
1. 如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点对B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为16m，教学楼高15m，围墙BC高3m，问至少需要多长的彩旗带？
E
D
解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，
由题意，得BE＝16m，AD＝15m，BC＝3m，
∴ED＝BC＝3m，AE＝AD－ED＝15－3 ＝12m，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AB2＝AE2＋BE2＝162＋122＝400，
∴AB＝20m.
答：至少需要20m长的彩旗带.
16m
15m
3m
新知巩固
2．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
解：设芦苇长AB＝x尺，则水深BC＝(x－1)尺，
由题意得 (x－1)2＋52＝x2，
解得 x＝13
即AB＝13尺，BC＝12尺.
答：水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺.
┐
B
C
A
1尺
5尺
3. 如图，货车车高，卸货时后面挡板 折落在地面
处，已知点，，在一条直线上， ，经过测量知
，则____ .
1.5
（第3题）
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4. 如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖
直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆
在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱
底部6尺（ 尺）处时绳索用尽，则木柱长为___尺.
8
（第4题）
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5.如图，一个梯子长 ，斜靠在一面墙上，梯子底端
离墙脚 .
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
解：根据勾股定理，得
，
这个梯子的顶端距地面的高度为 .
（2）如果梯子的顶端下滑了 ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
解：由题意得， .
根据勾股定理，得，即 ，
.
.
即梯子的底端在水平方向滑动了 .
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6.《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一
丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问
水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是
边长为10尺的正方形，一棵芦苇 生长在池塘的中央，
高出水面部分 为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直
的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的
（如图），求芦苇长多少尺.
解：根据题意可得 （尺）.
设水深尺，则芦苇长 尺，
在中， ，
即，解得 ，
，即芦苇长13尺.
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（第7题）
7.如图，一支长为 的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔
筒的长、宽、高分别为、、 ，那么这支铅
笔露在笔筒外的部分的长度 的范围是( )
B
A. B.
C. D.
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（第8题）
8.《九章算术》是古代东方数学代
表作，书中记载：今有开门去阃
（读 ，门槛的意思）一尺，不
合二寸，问门广几何？题目大意是：
如图①②（图②为图①的平面示意
图），推开双门，双门间隙 为2
101
寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），则 的长是_____寸.
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9. 如图，公路和公路在点 处交汇，且
.点处有一栋居民楼， 假设一拖拉机在公路
上沿方向行驶，周围 以内会受到噪声的影响.
（1）该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由；
解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下：如图，作 ，则
，
， ，
.， 该居民楼会受到噪声的影响.
（2）若受影响，已知拖拉机的速度为 ，则居民楼受到影响的
时间有多长？
解：如图，假设拖拉机到达 处，居民楼开始受到
影响，过处后，居民楼不再受影响，连接, ,
则 ，
， ，
. .
，.故居民楼受到影响的时间有 .
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10.如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆
柱的侧面上，过点， 嵌有一圈长度最短的金属丝.
（1）现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是
___；
A
A. B. C. D.
（2）金属丝的长为____；
20
（3）如图②，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为 ，在杯内
壁离杯底的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯
上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁 处所爬
行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点 ，
连接交于点，连接，则 ，易知
为最短路程.作，交的延长线于点 .
外壁处到内壁处所爬行的最短路程为 .
易得, .在
中，由勾股定理得 ,即蚂蚁从
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利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1．构造直角三角形；
3．用勾股定理列出方程；
4．解方程；
5．检验、写出答案．
2．设出未知数；

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