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苏科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.3.2勾股定理在几何图形中的应用第三章勾股定理3.3.2勾股定理在几何图形中的应用核心思想：在普通几何图形（三角形、长方形、正方形、梯形等）中，通过作高、作垂线构造直角三角形，借助勾股定理求边长、高、对角线、面积等几何量，是平面几何计算的核心方法。一、通用解题步骤（考试标准）1.构造直角三角形：对非直角图形，通过作高线、垂线、对角线分割出Rt△；2.标注已知量：梳理图形边长、高等已知条件；3.公式计算/列方程：直接套用勾股定理或设未知数列方程求解；4.回代求结果：结合图形性质，求出周长、面积、线段长等最终结果。二、五大必考几何模型模型1：普通三角形求高、求边长适用场景：锐角/钝角三角形，已知三边长，求高或面积。核心方法：作底边高线，分割为两个直角三角形，利用公共高列方程求解。例题：在△ABC中，AB=5，AC=5，BC=6，求△ABC的面积。解：过点A作AD⊥BC于D，等腰三角形三线合一，$$BD=\frac{1}{2}BC=3$$。在Rt△ABD中：$$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$$。面积：$$S=\frac{1}{2}\times6\times4=12$$。答：三角形面积为12。模型2：长方形、正方形对角线问题核心性质：矩形四个角为直角，长、宽为直角边，对角线为斜边，直接构造直角三角形。公式：矩形对角线长$$d=\sqrt{a^2+b^2}$$（a为长，b为宽）。例题：长方形长12，宽5，求对角线长度。解：$$d=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$$。答：对角线长为13。模型3：梯形求高、求腰长适用场景：普通梯形、等腰梯形。解题方法：双高法，过上底两端点向下底作垂线，将梯形分割为矩形+两个直角三角形。例题：等腰梯形上下底分别为2、8，腰长5，求梯形的高。解：底边差值：$$8-2=6$$，单侧水平边长：$$6\div2=3$$。由勾股定理：$$h=\sqrt{5^2-3^2}=4$$。答：梯形的高为4。模型4：几何折叠问题（矩形、三角形折叠）核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等、折叠前后图形全等。固定解题套路：设未知线段为$$x$$→用图形边长和差表示另一条直角边→在Rt△中列勾股方程求解。例题：矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形沿对角线BD折叠，求重叠部分线段长度。解题思路：利用折叠等长性质设未知数，结合直角三角形列方程求解，是期末必考重难点。模型5：动点几何问题适用场景：图形上点在线段上运动，求某时刻线段长度、直角存在性。解题关键：用含时间t的代数式表示动点线段长，再利用勾股定理建立方程求解。三、核心解题思想（必考）1.构造思想：无直角，造直角，所有几何图形计算均可转化为直角三角形问题。2.方程思想：边长未知、条件不足时，设$$x$$列方程，是几何计算最常用方法。3.转化思想：不规则图形、动态图形→转化为静态直角三角形求解。四、高频易错点1.未构造直角三角形，直接乱用勾股定理；2.钝角三角形作高，高在图形外部，容易漏算、错算边长；3.折叠问题忘记“对应边相等”的性质，无法建立等量关系；4.分不清斜边与直角边，方程列写错误。五、考点总结勾股定理几何应用核心：分割图形→构造Rt△→勾股计算/方程求解。主要考查：三角形高与面积、图形对角线、梯形边长、几何折叠、动点几何五大题型，是初中几何计算的核心基础。问题引入
在跳远比赛中，裁判员怎样测量跳远成绩？为什么这样测量？
直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短．
A
典例分析
例1 证明：
直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短．
分析：1. 这个命题的条件是什么？结论是什么？
条件
结论
2. 依据命题条件,怎么画出能体现这些条件的图形？
①
②
③
A
l
∟
Q
Q
P
3. 当Q移动时，△PAQ始终是什么三角形？
4. 在直角三角形中，三边满足什么关系？
怎样比较两边的长短？
典例分析
例1 证明：
直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短．
证明：∵PA⊥l，
∴△APQ为直角三角形.
根据勾股定理，得
PQ2＝PA2＋AQ ．
∵AQ＞0，
∴PQ2＝PA2＋AQ ＞PA2．
∴PA＜PQ．
已知：如图，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，Q为直线l上不同于点A的任意一点．
求证：PA＜PQ．
A
l
∟
Q
P
（第1题）
1.如图，以点为圆心， 的长为半径画
弧，交数轴于点，则点 表示的数为
( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2.如图，在的正方形网格中，点，，，，
是格点，则下列线段长度最长的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
典例分析
例2 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD＝h，AD＝m，DB＝n．求证：h2＝mn.
∟
C
A
B
D
∟
h
m
n
分析：1. h，m，n在哪些直角三角形中？
三边满足什么关系？
2. AC，BC又在哪个三角形中？之间有什么关系？
证明：在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
AC2＝h2＋m2．
在Rt△DBC中，根据勾股定理，得
BC ＝h2＋n2．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2＋BC2＝AB ．
∵AB＝m＋n，
∴h2＋m2＋h2＋n2＝(m＋n) .
2h2＋m2＋n2＝m2＋n2＋2mn.
∴h2＝mn.
典例分析
例2 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD＝h，AD＝m，DB＝n．求证：h2＝mn.
∟
C
A
B
D
∟
h
m
n
探究思考
如图，在数轴上点B表示，点C表示……你能在数轴上画出表示的点吗？试写出a99的值．
a1
1
1
1
1
1
1
a2
a3
a4
a5
0
A
－1
C
D
B
A5
A4
A3
A2
A1
E
解：如图所示，在数
轴上的点E表示．
由图中的规律可知，
a99＝＝10．
新知巩固
1. 长度分别为，，的三条线段能构成一个三角形吗？
如果可以，判断这个三角形的形状．
解：∵≈1.73，≈2.24，≈2.83，
∴＋＞，
∴ 这三条线段能构成一个三角形.
∵()2＋()2＝3＋5＝8，()2＝8，
∴()2＋()2＝()2，
∴这个三角形是直角三角形．
根据边长如何
判断三角形形状？
勾股定理的逆定理
思维提升
例3 如图，以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．
解：由图形可得以AB，BC为直径的两个半圆的面积之和
等于以AC为直径的半圆的面积．理由如下：
设以 BC，AB，AC为直径的半圆面积分别为S1，S2，S3．
则S1＋S2＝π＋π＝BC2＋AB2＝(BC2＋AB2)，
S3＝π＝AC2．
∵ BC2＋AB2 ＝AC2 ，
∴ S1＋S2＝S3．
知识链接
勾股图中的面积关系:
以直角三角形的三边为基础，分别向外作半圆、正方形、等边三角形，如图，它们都形成了简单的勾股图. 对于这些勾股图，它们都具有相同的结论，即S3＝S1＋S2. 与直角三角形三边相连的图形还可以换成正五边形、正六边形等，结论同样成立.
3. 如图，平分，在上取一点，作 ，已
知，，点是射线上一动点，则 长度的最小值为
___.
5
（第3题）
返回
4.如图，中，，，为 的中点，
于点，则 的长是___.
（第4题）
返回
5.在中， ，的垂直平分线分别交，于点， ，
若，，则 的长为_____.
返回
6.如图，等腰三角形的底边， 是腰
上一点，且， .
（1）求证： ；
解：证明：，， ，
且， ，
为直角三角形，且. .
（2）求 的面积.
解：为等腰三角形，为底边， .
设，则 ，
，. ，即
，解得， .
.
返回
7.如图，在中，为上一点，，，且 .
记的长为，的长为，当， 变化时，下列代数式的值不变的是
( )
A
A. B.
C. D.
返回
8.在中，，，高，则 的周长为
________.
84或64
返回
9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古
算书《周髀算经》中早有记载.如图①，以直角三角形的各边为边分别
向外作正方形，再把较小的两个正方形按图②的方式放置在最大正方形
内.若, ，则图②中阴影部分的面积为___.
2
返回
10. 如图，中， ， ，
，，，，是直线 上一动点，
把沿所在的直线翻折使点落在直线 上，然后再展开，则
_ _____.
10或
返回
勾股定理的简单应用
勾股定理
解决实际问题
用代数方法证明几何结论
勾股定理的逆定理
判断是否是直角三角形

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