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苏科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.1.2勾股定理的证明第三章勾股定理3.1.2勾股定理的证明勾股定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形两直角边长为$$a、b$$，斜边长为$$c$$，则：$$a^2+b^2=c^2$$。初中阶段最常用、考试必考三种证明方法，均采用面积法（等面积法：图形割补前后总面积不变）。一、方法一：赵爽弦图（中国经典证法、考试高频）图形构造：用四个完全相同的直角三角形（直角边$$a、b$$，斜边$$c$$）拼成一个大正方形，大正方形边长为$$c$$，中间围成一个小正方形。证明步骤：1.大正方形面积：$$S_大=c^2$$2.四个直角三角形总面积：$$4\times\frac{1}{2}ab=2ab$$3.中间小正方形边长为$$b-a$$，小正方形面积：$$S_小=(b-a)^2=a^2-2ab+b^2$$4.大正方形面积=四个直角三角形面积+小正方形面积$$c^2=2ab+(a^2-2ab+b^2)$$5.化简得：$$c^2=a^2+b^2$$优点：构图简洁、无复杂计算，是教材官方标准证法。二、方法二：美国总统伽菲尔德证法（梯形证法）图形构造：将两个全等的直角三角形（直角边$$a、b$$，斜边$$c$$）与一个腰长为$$c$$的等腰直角三角形，拼成一个直角梯形。证明步骤：1.梯形上底为$$a$$，下底为$$b$$，高为$$a+b$$2.梯形总面积：$$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$$3.梯形由三个直角三角形组成，总面积：$$S=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$$4.面积相等列等式：$$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$$5.化简：$$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$$，消去$$ab$$6.两边同乘2得：$$a^2+b^2=c^2$$优点：步骤少、计算简单，考试快速解题首选。三、方法三：外补大正方形证法（割补法）图形构造：以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，利用大正方形面积割补证明。证明步骤：1.作边长为$$a+b$$的大正方形，四个角摆放四个全等直角三角形。2.大正方形面积：$$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$3.除去四个直角三角形面积，剩余中间正方形面积：$$c^2$$4.列式：$$a^2+2ab+b^2-4\times\frac{1}{2}ab=c^2$$5.化简得：$$a^2+b^2=c^2$$四、证明核心考点总结1.核心思想：所有勾股定理证明的本质都是等面积割补法，无需求解角度，仅通过面积等量代换推导。2.必考易错点：证明前提必须是直角三角形，非直角三角形不满足勾股定理。3.考试优先级：赵爽弦图>伽菲尔德梯形证法>割补正方形证法。新知探究
赵爽，东汉末至三国时代的吴国人，是中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家.
赵爽弦图
新知探究
讨论交流
“赵爽弦图”证明的基本思路是什么？
利用“面积相等”证明．
操作思考
根据“弦图”的思路，用4张如图所示的直角三角形纸片拼成一个边长为c的大正方形．你能用这个图形证明勾股定理吗？
b
c
a
b
c
a
C
A
B
D
证明：∵S正方形ABCD＝c2，
S正方形ABCD＝4×ab＋(b－a)2，
＝2ab＋b2－2ab＋a2
＝a2＋b2
∴a2＋b2＝c2．
尝试交流
1. 用4张如图所示的直角三角形纸片拼成如图所示的大正方形，你能用这个图形证明勾股定理吗？
b
c
a
b
c
a
b
a
b
a
b
a
证明：∵S大正方形＝(a＋b)2，
S大正方形＝4×ab＋c2，
∴ (a＋b)2＝4×ab＋c2
a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2
∴ a2＋b2＝c2．
1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算
经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为
“商高定理”.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
C
A. B. C. D.
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2. 对勾股定理的一种证法采用了如图所示的方
法，其中两个全等的直角三角形的边, 在同一条直线上，证明中用
到的面积相等关系是( )
B
（第2题）
A.
B.
C.
D.
返回
尝试交流
2. 连接左图中小正方形的对角线，可以得到右图．试利用右图中的面积关系证明勾股定理.
b
c
a
b
a
b
a
b
a
b
c
a
b
a
∟
∟
∟
c
尝试交流
2. 连接左图中小正方形的对角线，可以得到右图．试利用右图中的面积关系证明勾股定理.
b
c
a
b
a
∟
∟
∟
c
证明：∵S梯形＝(a＋b)2，
S梯形＝ab＋ ab＋c2，
∴ (a＋b)2＝ab＋ ab＋c2
a2＋ab＋b2＝ab＋ab＋ c2
∴ a ＋b ＝c .
“总统”证法
知识链接
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法．1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法．
加菲尔德总统证法
探索交流
b
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
b
b
b
(1)
(2)
观察两个图形有什么相同点和不同点？
同一个图形, 不同的分割方法.
利用下面图形，证明勾股定理．
探索交流
利用下面图形，证明勾股定理．
b
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
b
b
b
证明：由图(1)得，
S大正方形＝4×ab＋a ＋b ，
由图(2)得，
S大正方形＝4×ab＋c2，
∴4×ab＋a ＋b ＝4×ab＋c2，
∴ a ＋b ＝c .
(1)
(2)
新知巩固
图中涂色部分是直角边长为a、b，斜边长为c的4个直角三角形．
试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理．
这个图形有几种不同的分割方法？
新知巩固
图中涂色部分是直角边长为a、b，斜边长为c的4个直角三角形．
试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理．
A
B
C
D
E
F
G
证明：如图，
∵S多边形ABEFG＝S梯形ABDG＋S梯形DEFG
＝b[(b＋(a＋b)]＋a[(a＋(a＋b)]
＝b2＋ ab＋a2＋ab
＝a2＋b2 ＋ab，
S多边形ABEFG＝S正方形ACFG+2S直角三角形ABC
＝c2 ＋ab，
∴a2＋b2 ＋ab＝c2 ＋ab．
即a2＋b2＝c2．
（第3题）
3. 中国古代数学家们对于
勾股定理的发现和证明，在世界数
学史上具有独特的贡献和地位.学习
了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵
爽弦图”，如图①所示，已知他绘制
10
的图①中的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间
的小正方形恰好能拼成如图②所示的长方形，则 的长为____.
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4.用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个
正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为 ,
,斜边长为 .
（1）结合图①，求证： ;
解：证明： ,
，
,即 .
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起，
得到图形.若该图形的周长为48， ，求该图形的面积.
解：由题意知 该图形的周长为48，
.
设,则 .
在中，由勾股定理，得 ,即
,解得 .
该图形的面积为 .
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5.如图，在中， ，，， 的垂直平
分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接 .求
的长.
解：是线段 的垂直平分线，
， .
， ，
.
.
故的长为 .
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6. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大
正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为， .若小正方形
的面积为5， ，则大正方形的面积为( )
B
A.12 B.13
C.14 D.15
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勾股定理的证明
利用面积相等证明
赵爽弦图
图形不同的切割(或拼接)方法计算面积

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