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苏科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.1.1函数的概念第五章一次函数5.1.1函数的概念核心地位：函数是初中代数的核心内容，是研究变量之间变化关系的重要工具，后续一次函数、反比例函数、二次函数均以本节概念为基础。一、变量与常量（基础铺垫）1.变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。2.常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量。注意：变量和常量是相对某个变化过程而言的，不是绝对的。例：路程公式$$s=vt$$，若速度v固定，则v是常量，s、t是变量；若路程s固定，则s是常量，v、t是变量。在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数。其中：x是自变量，y是因变量。三、函数三要素（判断函数的核心）1.两个变量：必须存在相互关联的两个变量；2.任意性：自变量x在取值范围内可取每一个确定值；3.唯一性：x每取一个值，y有且只有一个值对应（核心考点）。关键辨析：允许多个x对应同一个y，不允许一个x对应多个y。四、函数的三种表示方法1.解析式法：用代数式表示函数关系，简洁准确，便于计算。例：$$y=2x+1$$。2.列表法：用表格罗列自变量和对应函数值，直观可读，但只能体现部分对应关系。3.图象法：用平面直角坐标系中的图形表示函数关系，能直观反映变化趋势。五、自变量的取值范围（必考重点）自变量x可以取值的全体，叫做自变量的取值范围。取值规则：1.整式型（如$$y=3x-2$$）：自变量取全体实数；2.分式型（分母含x）：分母不能为0；3.二次根式型：被开方数≥0；4.实际问题：必须符合实际意义（人数、个数为正整数，长度为正数）。六、典型例题解析例题1：判断下列关系式中，y是否是x的函数。（1）$$y=5x-3$$（2）$$y^2=x$$解：（1）x每取一个值，y有唯一值对应，y是x的函数；（2）当x=4时，y=2或y=-2，一个x对应两个y，y不是x的函数。例题2：求下列函数自变量的取值范围。（1）$$y=\dfrac{1}{x-2}$$（2）$$y=\sqrt{x-3}$$解：（1）分母不为0：$$x-2\neq0$$，得$$x\neq2$$；（2）被开方数非负：$$x-3\geq0$$，得$$x\geq3$$。例题3：购买单价为4元的笔记本，总费用y（元）随购买数量x（本）变化，判断变量、常量，并说明y是否为x的函数。解：常量：单价4元；变量：x、y。关系式：$$y=4x$$，x每取一个正整数，y有唯一值对应，y是x的函数。七、高频易错点1.误判函数关系：只要一个x对应多个y，一定不是函数；2.求取值范围遗漏条件：分式忘排除分母为0、根式忘非负；3.实际问题忽略自变量限制（如数量不能为负数、小数）；4.混淆自变量与因变量，函数是y随x变化。八、本节考点总结1.基础考点：区分变量、常量，理解函数的对应关系；2.核心考点：根据定义判断是否为函数，求自变量取值范围；3.解题关键：抓住x唯一对应y的核心规则，结合式子类型和实际背景解题。问题情境
若购买同一品种的橘子，则购买的费用随购买＿＿＿的变化而变化；
数量
若购买的数量不变，则购买的费用随购买的＿＿＿的变化而变化；
单价
若购买的费用不变，则购买的＿＿＿随购买的单价的变化而变化．
数量
探究交流
请你再举出一些类似的实例，并指出其中哪些量是不变的，哪些量是变化的；哪个量的数值确定后，另一个量也随之确定.
例如，货车在路上匀速行驶时，行驶的速度不变，行驶的路程 s 随时间 t 的变化而变化．
知识精讲
在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作常量(constant)，
数值发生变化的量叫作变量(variable).
常量与变量是相对的，判断变量与常量的前提是“在某一变化过程中”.
例如，在购买橘子的情境中，单价是常量，数量与费用是变量；
如果用一笔钱购买橘子，钱款是常量，单价与购买数量则是变量.
1.水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与 的
关系式为 .下列说法正确的是( )
C
A.2是变量 B. 是变量
C.是的函数 D. 是常量
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2.在式子，，， ，
中，是 的函数的有( )
C
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
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新知巩固
1．你知道为什么冬天电动自行车的电池不耐用吗？因为电动自行车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度的降低，电池中的化学物质的活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，变量是（　　）
A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电动自行车
B
新知巩固
2．把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽屉放入b本，则下列判断错误的是（　　）
A．20是变量 B．a是变量 C．b是变量 D．20是常量
A
3．李师傅到单位附近的加油站加油，加油机上显示单价为7.46元/升，数量为18.00升，金额为134.28元．在加油时，金额、数量、单价这三个量中，常量是 　单价　．
单价
新知巩固
4．已知△ABC的底边BC的长为a，BC边上的高为h，三角形的面积为S，则有关系：S＝ah．
在下面的三种情况中，试说出常量和变量:(1)面积S一定；(2)底边长a一定；(3)高h一定．
解：(1)当面积S一定时，S＝ah中，和S是常量，a和h是变量．
(2)当底边长a一定时，S＝ah中，和a是常量，S和h是变量．
(3)当高h一定时，S＝ah中，和h是常量，S和a是变量．
知识精讲
在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数(function)，x是自变量．对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值(function value)．
知识链接
李善兰(清代)
1811—1882
“函数”最早是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”译成“函数”，并沿用至今．
书中说：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数．”这里的“函”是包含的意思，意思是指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量”．
典例分析
例1 如果某轮船从甲港以30 n mile/h的速度匀速驶向相距500 n mile的乙港，其与乙港的距离s n mile是航行时间t h的函数吗？用含t 的代数式表示 s．
解：s是t的函数．轮船与乙港的距离s随航行时间t的变化而变化，当t
取一个确定的值时，s有唯一的值与它对应，s是t的函数，t是自变量．
s与t之间的函数关系可以表示为s＝500－30t．
探究交流
某轮船从甲港匀速驶向相距500 n mile的乙港，全程用时t h是速度 v n mile/h的函数吗？如果要在12.5h内到达，那么速度至少要达到多少？
全程用时t h是速度 v n mile/h的函数．
如果要在12.5h内到达，速度至少要达到40 n mile/h.
新知巩固
1．判断下列变量之间的关系是否为函数关系：
(1) 在平静的湖面上投入一粒石子，激起的圆形波纹的面积S cm2和半径r cm；
(2) 沿倾角为30°的斜坡登山，爬升的高度 h m和前进的水平距离 l m；
(3)长方形的面积 y 和长 x ．
解：(1) (2) 是函数关系，(3)不是函数关系．
新知巩固
2．如图是某人在医院体检时心电图的一部分，图上横轴表示时间 t s，纵轴表示心脏的心肌在活动中产生的电压 U mV，电压是时间的函数吗？为什么？
解：电压(U)是时间(t)的函数．
U 随 t 的变化而变化，当t 取一个确定的值时，U有唯一的值与它对应．
新知巩固
3．某种矿泉水每瓶2元，判断销售额 y 元是否是销售数量 x 瓶的函数，并用含 x 的代数式表示 y ．
解：是．销售额y元随销售数量 x 瓶的变化而变化，当x取一个确定的值，y有唯一的值与它对应；y＝2x．
能力提升
1.下列曲线中表示y是x的函数的是(　　)
C
A.
B.
C.
D.
3. 李师傅到单位的新能源充电桩充电，如图是所用的
充电桩上的数据显示牌，在充电金额、已充电量、单价三个量中，变量
是____________________.
充电金额、已充电量
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4. 徐州烙馍是江苏徐州的传统特色小吃，已有两千
多年的历史了，这是一种看似平常却又颇为独特的面食.某店的烙馍价格
是每张0.4元，买张烙馍的总价为元，先填表，再用含的式子表示 .
张数 1 2 3 …
总价/元 ____ ____ ____ …
与 之间的关系式是__________，这个式子中，____是常量，______是
变量.
0.4
0.8
1.2
0.4
和
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5.“早穿皮袄午穿纱”这句话反映了我国新疆地区一天中，______随
_______的变化而变化.
气温
时间
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6.汽车开始行驶时，油箱中有油55升，如果每小时耗油7升，则油箱内
剩余油量（升）与行驶时间 （小时）之间的关系式为______________.
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7. 科学家研究发现，声音在空气中传播的速度 （米/秒）与
气温有关，当气温是时，音速是331米/秒；当气温是 时，
音速是334米/秒；当气温是时，音速是337米/秒；当气温是 时，
音速是340米/秒；当气温是时，音速是343米/秒；当气温是 时，
音速是346米/秒；当气温是 时，音速是349米/秒.
（1）请你用表格表示气温与音速之间的关系；
解：列表如下：
0 5 10 15 20 25 30
（米/秒） 331 334 337 340 343 346 349
（2）表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是自变
量的函数？
解：反映了气温和音速之间的关系；气温是自变量，音速是自变量的函数.
（3）当气温是时，估计音速 是多少；
解：当气温是时，估计音速 是352米/秒.
（4）用一个式子来表示两个变量之间的关系.
解：根据表格中的数据可得出气温每升高 ，音速增加3米/秒，当
时，，故两个变量之间的关系式为 .
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8.下列各图中，是 的函数的有( )
（第8题）
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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9.如图，用灰、白两种颜色的正六边形地板砖镶嵌成若干图案，则第
个图案中白色地板砖的总块数与 之间的关系可以表示为___________，
其中自变量是___，当为10时，对应的函数值 为____.
（第9题）
42
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10.如图，已知的面积是， ，
在边上有一动点，连接，设长为 ，
的面积为 .
（1）求与 之间的函数关系式；
解：的面积是，，边上的高为 ，
的面积为， .
（2）用表格表示在的值从1增加到6的过程中（每次增加1）， 的对应值；
解：用表格表示如下：
1 2 3 4 5 6
2 4 6 8 10 12
（3）当时， 的值等于多少？说明了什么？
解：当时，，说明此时点与点 重合.
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函数的概念
函数的概念
常量、变量
数值保持不变的量叫作常量
数值发生变化的量叫作变量
两个变量x和y
对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应

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