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苏科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.2.1一次函数的概念第五章一次函数5.2.1一次函数的概念核心地位：一次函数是初中最简单、最基础的函数类型，是学生从“变量关系”过渡到“函数体系”的核心内容，也是后续学习反比例函数、二次函数的基础，在考试中选择、填空、解答题高频考查。一、一次函数的定义（课本标准）一般地，形如$$y=kx+b$$（$$k、b$$为常数，$$k\neq0$$）的函数，叫做一次函数。其中：$$x$$是自变量，$$y$$是因变量。定义核心三条件：1.自变量$$x$$的次数为1（一次）；3.解析式为整式，不含分母含x、不含根号含x。二、正比例函数（特殊的一次函数）当一次函数中$$b=0$$时，解析式变为$$y=kx(k\neq0)$$，这样的函数叫做正比例函数。包含关系（必考）：1.正比例函数一定是一次函数；2.一次函数不一定是正比例函数；3.正比例函数是特殊的一次函数（常数项为0）。三、一次函数与正比例函数辨析1.一次函数通用形式：$$y=kx+b(k\neq0)$$（k、b可为任意常数，b可以为0、正数、负数）2.正比例函数专属形式：$$y=kx(k\neq0)$$（必须没有常数项）3.只要$$k=0$$，式子变为$$y=b$$，是常函数，不是一次函数。四、判断一次函数的万能步骤1.整理式子：化为y=kx+b最简形式；2.看次数：自变量x次数必须为1；3.看系数：一次项系数$$k\neq0$$；4.看形式：必须是整式函数，分式、根式都不是一次函数。五、典型例题解析例题1：判断下列哪些是一次函数，哪些是正比例函数。①$$y=5x-1$$②$$y=\dfrac{1}{x}$$③$$y=3x$$④$$y=2$$⑤$$y=x^2$$解：①是一次函数，不是正比例函数；②是分式函数，不是一次函数；③是一次函数，也是正比例函数；④常函数，不是一次函数；⑤二次函数，不是一次函数。例题2：已知$$y=(m-2)x+3$$是一次函数，求m的取值范围。解：一次函数要求一次项系数不为0，$$m-2\neq0$$，解得$$m\neq2$$。例题3：已知$$y=(k+1)x^{|k|}$$是正比例函数，求k的值。解：正比例函数要求：次数为1、系数不为0、无常数项。1. $$|k|=1$$，得$$k=1$$或$$k=-1$$；2. $$k+1\neq0$$，得$$k\neq-1$$；综上：$$k=1$$。六、自变量取值范围1.纯数学一次函数$$y=kx+b$$：自变量x取全体实数；2.实际问题中的一次函数：自变量取值必须符合实际意义（长度、数量为正数、整数等）。七、高频易错点1.忽略$$k\neq0$$条件，误将$$k=0$$的常函数当成一次函数；2.分不清包含关系：误以为一次函数不是正比例函数；3.把分式、根式、二次式当成一次函数；4.题目含参数时，只看次数不验证系数不为0，导致漏解、错解。八、本节考点总结1.熟记一次函数、正比例函数标准形式；2.掌握两者包含关系：正比例函数 一次函数；3.核心考点：判断函数类型、根据一次函数定义求参数；4.本节是一次函数图象、性质、实际应用的前置基础。问题情境
某人给汽车加油时的计价屏如图所示．加油枪流量是40L/min，加油前油箱中有油6L，在这个过程中有哪些常量、变量？有哪些函数关系？
加油时，金额y元与加油油量x L具有函数关系，
可以用函数表达式表示，即y＝7.49x．
油箱中的油量Q L与加油时间t min具有函数关系，
可以用函数表达式表示，即Q＝40t＋6．
探索交流
y＝7.49x
Q＝40t＋6
它们有什么相同之处与不同之处？你能将它们进行分类吗？
上面函数表达式中，自变量是什么？函数表达式是关于自变量的几次式？
观察上述表达式的结构，如何用符号语言表达它们的共同特征？
y＝1－x
y＝30t
知识精讲
一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数．
特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)叫作x的正比例函数．
注意：
(1)一次函数有三个特征：①k≠0;②自变量x的次数是1;③常数b可以是任意实数．
(2)正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数．
1.下列函数：；；； ；
.其中是一次函数的有( )
B
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
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2.下列说法中不正确的是( )
D
A.一次函数不一定是正比例函数
B.不是一次函数就一定不是正比例函数
C.正比例函数是特殊的一次函数
D.不是正比例函数就一定不是一次函数
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典例分析
例1 下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
解：(1) (4) (5) (6) (8)是一次函数， (1) (5) (6)是正比例函数.
(1) y＝－8x； (2) y＝； (3) y＝5x2＋6； (4) y＝1－x；
(5) y＝－； (6) y＝2＋2(x－1)； (7) y＝ax＋b； (8) y＝ .
新知巩固
1. 下列说法正确的是（　 ）
A. y＝2x是正比例函数，但不是一次函数
B. y＝ 不是一次函数
C. y＝－ x 是一次函数
D. y＝10(x＋3)是正比例函数
C
典例分析
例2 写出下列各个变化过程中两个变量之间的函数表达式，并指出其中的一次函数、正比例函数．
解：(1) C＝4x，C是x的正比例函数．
(2) 正方形花圃的面积S m2随边长x m的变化而变化．
(1) 正方形花圃的周长C m随边长x m的变化而变化．
解：(2) S＝x ，S不是x的一次函数．
正比例函数中两个变量之间的对应规律是什么？
典例分析
(3) 如图，A，B两站相距200 km．若火车从B站出发以320 km/h的速度匀速驶向C站，火车与A站的距离y km随行驶时间t h的变化而变化．
解：(3) y＝200＋320t，y是t的一次函数．
典例分析
(4) 如图，搭1条“小鱼”需要8根火柴棒，每多搭1条“小鱼”就要增加6根火柴棒．所需火柴棒的根数S随着所搭“小鱼”条数n的变化而变化．
解：(4) S＝8＋6(n－1)，即S＝6n＋2，S是n的一次函数．
讨论交流
　　1. 在章头活动中，量筒水面的高度(h)是量筒中玻璃球总体积(V)的一次函数吗？
h＝10＋
解：设量筒底面半径为R．
　　量筒水面的高度(h)是量筒中玻璃球总体积(V)的一次函数．
思维提升
例3（2023·山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg的物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式为 　y＝0.5x＋12　．
原来的长度
每挂重t kg的物体，弹簧伸长0.5t cm
增加的长度
y＝0.5x＋12
3.如图，有一块长为、宽为 的长方形木板，现要在长边上截去一
边长为的一个小长方形，则剩余木板的面积与 之间的关
系式为( )
B
A. B.
C. D.
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4.若是关于的正比例函数，则 的值是____.
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5.已知一次函数，当时，___；当时，
___.
0
6
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6.已知，若把看成 的函数，则可表示为_____________.
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7. 已知不挂物体时弹簧的长度为 ，在弹性限度内，每挂
重的物体，弹簧伸长，则挂重后弹簧的长度 与所挂物
体的质量 之间的函数表达式是_____________.
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8. 写出下列各题中关于 的函数表达式，并判断
是否为的一次函数，是否为 的正比例函数.
（1）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价元与所买西瓜的质量
千克；
解：依题意得，是 的一次函数，也是正比例函数.
（2）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔
盒数与星期数 ；
解：依题意得，是 的一次函数，不是正比例函数.
（3）小林的爸爸为小林存了一份教育金，首次存入10 000元，以后每
个月存入500元，存入的总金额元与月数 .
解：依题意得，是 的一次函数，不是正比例函数.
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9.已知函数 .
（1）当， 为何值时，此函数是一次函数？
解：由题意，得，且,解得 .
所以当， 为任意实数时，这个函数是一次函数.
（2）当， 为何值时，此函数是正比例函数？
解：由题意，得，，，解得 ，
.
所以当， 时，这个函数是正比例函数．
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一次函数的概念
正比例函数中两个变量之间的对应规律
一次函数的概念
一次函数中“k”“b”的实际意义

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