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苏科版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.4.2根据一次函数图象解决实际问题第五章一次函数5.4.2根据一次函数图象解决实际问题核心地位：本节是一次函数章节的压轴应用题考点，属于中考必考解答题型。要求学生读懂图象、提取信息、结合一次函数性质解决生活中的行程、费用、工程、方案选择等实际问题，是数形结合思想的综合运用。一、实际问题函数图象核心认知实际问题中的一次函数图象不再是整条直线，而是线段或射线。原因：实际变量（时间、数量、路程、费用等）有取值范围，不能取全体实数。读图万能原则：横轴为自变量，纵轴为因变量；图象上每一个点的坐标，都对应一组实际数量关系。二、图象读图四步法（考试标准解题步骤）一看轴、二看点、三看线、四列式1.看坐标轴：明确x、y分别代表什么实际物理量（时间、路程、金额、数量等）；2.看关键点：重点读取起点、终点、交点、折点、与坐标轴交点的坐标；3.看图象趋势：上升、下降、水平线段分别对应量变规律；4.列解析式求解：用待定系数法求出函数表达式，代入数值计算作答。三、图象线段对应的实际意义1.图象上升：y随x增大而增大（路程变远、费用变多、总量增加）；2.图象下降：y随x增大而减小（剩余量减少、距离拉近）；3.图象水平：y值不变（静止、等待、匀速不变、工作量暂停）；4.图象交点：两个变量此时数值相等、状态相同、相遇、费用相同。四、四类必考实际问题模型（全覆盖）模型1：行程问题（时间—路程图象）x轴：时间，y轴：路程/距离；倾斜直线：匀速运动；水平线段：静止等待；两线相交：两车/两人相遇。模型2：费用问题（数量—金额图象）x轴：购买数量/时长，y轴：总费用；常用于手机套餐、打车费用、水电费、购物优惠方案对比。模型3：工程注水问题（时间—总量图象）x轴：时间，y轴：水量/工作量；上升：注水/工作；水平：停止；下降：排水/完工消耗。模型4：方案选择问题两条一次函数图象对比，通过交点分界：自变量在交点左侧选方案一、右侧选方案二、交点处费用相等。五、典型例题精讲（标准答题格式）例题1（基础读图题）某打车费用y（元）与行驶路程x（km）是一次函数关系，图象过(0,5)、(5,15)。（1）求y与x的函数关系式；（2）行驶8km需要多少费用？解：（1）设解析式为$$y=kx+b(k\neq0)$$。将(0,5)、(5,15)代入得：$$\begin{cases}b=5\\5k+b=15\end{cases}$$解得：$$k=2，b=5$$，∴ $$y=2x+5$$。（2）当$$x=8$$时，$$y=2\times8+5=21$$。答：函数关系式为$$y=2x+5$$，行驶8km费用为21元。例题2（交点方案选择题）甲、乙两种套餐费用图象交于点(10,30)，下列说法正确的是：①使用10单位时，两种费用相同；②少于10单位甲划算；③多于10单位乙划算。解：交点含义：x=10时，y相等，费用相同；结合图象高低判断：图象在下方的费用更低、更划算。结论：①②③均正确。六、实际问题自变量取值范围（必考扣分点）1.时间、数量、路程不能为负数，即$$x\geq0$$；2.有最大限制的，取对应区间（如最多行驶20km，则$$0\leq x\leq20$$）；3.人数、物品数量只能取非负整数。七、高频易错点1.忽略实际意义，将图象当成完整直线，忘记取值范围；2.读错横纵坐标含义，弄反自变量与因变量；3.看不懂水平线段，误以为函数停止变化就是题目停止；4.交点含义理解错误，不会利用交点做方案对比；5.求出解析式后，不带入实际问题作答，缺少答句扣分。八、本节考点总结1.核心能力：读懂一次函数实际图象，翻译图象语言为数学式子；2.解题套路：读图→找点→求解析式→代值计算→结合实际作答；3.高频考法：行程问题、计费问题、工程问题、最优方案选择；4.关键思想：数形结合，图象每一个变化都对应实际场景的变化。问题情境
某农业基地要将一批农产品运往外地，有汽车、火车两种运输方式可供选择.
汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数，用y元表示运输的费用，x km表示运输的里程，这两种运输方式的图象如图所示．你认为哪种运输方式花费较少？
(1) 图象的横轴与纵轴的实际意义是什么？
横轴表示运输的里程,纵轴表示运输的费用.
(2) 图象中交点的实际意义是什么？
运输里程为80km时,汽车和火车的运输费用都是570元.
问题情境
某农业基地要将一批农产品运往外地，有汽车、火车两种运输方式可供选择.
汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数，用y元表示运输的费用，x km表示运输的里程，这两种运输方式的图象如图所示．你认为哪种运输方式花费较少？
(3) 两条直线的交点前后，自变量取相同的值时，两个函数值大小关系有什么变化？
交点前，自变量取相同的值时，汽车运输费用
小于火车运输费用；交点后，自变量取相同的值时，
汽车运输费用大于火车运输费用．
问题情境
某农业基地要将一批农产品运往外地，有汽车、火车两种运输方式可供选择.
汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数，用y元表示运输的费用，x km表示运输的里程，这两种运输方式的图象如图所示．你认为哪种运输方式花费较少？
观察图象可得：
当x＝80时，两种运输方式费用相等，都是570元；
当0≤x＜80时，汽车运输花费较少；
当x＞80时，火车运输方式花费较少．
还有其他方法比较运输费用的大小关系吗？
列不等式．
典例分析
例2 如图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，列车运行时间为t min，运行速度为v km/min．
(1) 在3～10 min这个时间段列车运行的路程是多少？
(2) 列车发车12 min时的速度是多少？
问题1 图象的横轴与纵轴的实际意义是什么？
横轴表示列车运行时间，纵轴表示列车运行速度．
问题2 图中点(3,5)，(10,5)，(14,0)的实际意义是什么？
(3,5)表示当运行时间为3min，运行速度为5km/min；(10,5)表示当运行时间为10min，
运行速度为5km/min；(14,0)表示当运行时间为14min，列车停止行驶．
典例分析
例2 如图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，列车运行时间为t min，运行速度为v km/min．
(1) 在3～10 min这个时间段列车运行的路程是多少？
(2) 列车发车12 min时的速度是多少？
问题3 图中三条线段的实际意义是什么？
当行驶时间在0～3 min时，列车行驶速度随时间均匀增加；
当行驶时间在3～10 min时，列车行驶速度不变，始终是5km/min；
当行驶时间在10～14 min时，列车行驶速度随时间均匀减小．
典例分析
例2 如图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，列车运行时间为t min，运行速度为v km/min．
(1) 在3～10 min这个时间段列车运行的路程是多少？
(2) 列车发车12 min时的速度是多少？
解：(1) 由图可知：当3≤t≤10时，v＝5 km/min．
在3～10 min这个时间段列车运行的路程为5×(10－3)＝35(km)．
(2)当10≤t≤14时，设函数表达式为v＝kt＋b．函数图象经过点(10，5)和(14，0).
将这两个点坐标分别代入函数表达式，得
矩形的面积是这时段内列车行驶的路程．
典例分析
例2 如图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，列车运行时间为t min，运行速度为v km/min．
(1) 在3～10 min这个时间段列车运行的路程是多少？
(2) 列车发车12 min时的速度是多少？
解这个方程组，得
所以当10≤t≤14时，v关于t的函数表达式为v＝－1.25t＋17.5．
(2) 当t＝12时，v＝－1.25×12＋17.5＝2.5(km/min)．
所以列车发车12 min时的速度是2.5 km/min．
思维提升
列车出发多久，行驶速度为2.5km/min？
2.5
解：当0≤t≤3时，设函数表达式为v＝k1t．
函数图象经过点(3，5)．
将这个点坐标分别代入函数表达式，得5＝3k1，
解得k1＝，所以当0≤t≤3时，
v关于t的函数表达式为v＝t．
当v＝2.5时，t＝×＝ (min)．
所以列车出发min时的速度是2.5 km/min．
12
典例分析
例3 如图，在长方形电子广告屏ABCD中，AB＝8m，AD＝6m．动态效果设计如下：动点P从点A出发沿长方形的边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，逐渐展开主体广告画面．
(1) 写出屏幕展开面积S m 关于点P 的运动时间t s的函数表达式，并画出函数图象；
2m/s
思考: “点P在AB上运动时屏幕展开面积与时间t的变化规律”与“点P在BC上运动时
屏幕展开面积与时间t的变化规律”是否相同，若不相同，它们面积的变化与分别什
么变化有关？
6m
8m
典例分析
2m/s
解：(1)当点P在边AB上运动时，
S＝AD×AP＝×6×2t＝6t．
此时，t的取值范围是0≤t≤4．
P
当点P在边BC上运动时，
S＝(BP＋AD)×AB＝(2t－8＋6)×8＝4(2t－2)＝8t－8．
此时，t的取值范围是4≤t≤7．
所以函数表达式为
当0≤t≤4时，S＝6t；当4≤t≤7时，S＝8t－8．
函数图象如图所示．
6m
8m
典例分析
(2) 当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时电子屏幕未展开的面积．
解：(2)当S＝×8×6＝16(m2)时，开始播放广告语，
此时点P在边AB上运动，则6t＝16，解得t＝．
当t＝＋3＝(s)时，广告语播放结束，
此时点P在边BC上运动，则S＝8×－8＝(m )．
电子屏幕未展开的面积为6×8－＝(m )．
所以电子屏幕未展开的面积为m ．
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（第1题）
1.一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始
内只进水不出水，在随后的 内既进
水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数.
容器内的水量（单位：）与时间
（单位：）之间的关系如图所示，当
时， 的值为( )
B
A.36 B.38 C.40 D.42
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（第2题）
2. 小王前往距家2 000米的公司参会，
先以 （米/分）的速度步行一段时间后，再改骑
共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有
14分钟，小王距家的路程（米）与离家的时间
（分）之间的函数图象如图所示.若小王全程以
（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还
有___分.
5
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（第3题）
3. 一个有进水管与出水管
的容器，从某时刻开始的 内只进水不
出水，在随后的 内既进水又出水，之
后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量
是两个常数，容器内的水量（单位： ）
与时间（单位： ）之间的关系如图.则
在第_______时，容器内的水量是 .
3或16
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4. 某药品研究所开发一种抗菌新药.经
多年动物实验，首次用于临床人体试验.测得成
人服药后血液中药物浓度 （微克/毫升）与服药
后时间 （时）之间满足一次函数关系（如图）.
服药后3时，测得血液中药物浓度达到最高值9
微克/毫升；服药后11时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升.
（1）请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与 之间的函数
关系式；
解：当时，设与之间的函数关系式为，把 代入
得， .
当时，与之间的函数关系式为 ；
当时，设与之间的函数关系式为 ，
把和代入得
当时，与之间的函数关系式为 .
综上，血液中药物浓度上升阶段与 之间的函数关系式为
，下降阶段与 之间的函数关系式为
.
（2）根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，
才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用
的有效时长.
解：在中，当时， ，
在中，当时， ，
（时），
答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8时.
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5.甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每
天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组
因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，
甲、乙两组挖掘的长度之和 与甲组挖掘时
间 （天）之间的关系如图所示.
（1）甲组比乙组多挖掘了____天；
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（2）求乙组停工后，关于的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
解：设乙组停工后，关于的函数表达式为 ，将
，代入，得解得
关于的函数表达式为 .
（3）当甲组挖掘的长度与乙组挖掘的长度相等时，直接写出乙组已停
工的天数.
解：乙组已停工10天.
[解析] 点拨：由题图知甲、乙两组合作的挖掘速度为
（ /天），甲组的挖掘速度为（ /天）,
则乙组的挖掘速度为（ /天），设当甲组挖掘的总长度与乙
组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天，根据题意，得 ，
解得， （天）.故当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘
的总长度相等时，乙组已停工10天.
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根据一次函数图象解决实际问题
识图的关键是弄清函数图象上一些关键点的意义．
利用图象上特殊点的坐标建立函数关系求出函数表达式.

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