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两个等差数列的前项和之比问题的求解策略
一、知识点梳理
策略一．设等差数列和的前n项和分别为，则，．
策略二．设等差数列和的前n项和分别为，因为等差数列前n项和为关于n的常数项为的二次函数，则中，可以设，从而由，，再求（）．
题型分析
题型一、已知求（）的值
例1．设等差数列的前项和分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．2
例2．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ．
例3．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例4．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型二、已知求（）的值
例5．已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型三、已知求（）的值
例6．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
例7．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ．
题型四、已知求（）的值
例8．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则=（ ）
A． B． C． D．两个等差数列的前项和之比问题的求解策略
一、知识点梳理
策略一．设等差数列和的前n项和分别为，则，．
策略二．设等差数列和的前n项和分别为，因为等差数列前n项和为关于n的常数项为的二次函数，则中，可以设，从而由，，再求（）．
题型分析
题型一、已知求（）的值
例1．设等差数列的前项和分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】由题意得，
因为，所以，故A正确.
故选：A
例2．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ．
【答案】
【详解】由题意得，
所以，又，
所以，
故答案为：.
例3．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】由等差数列的性质可得，
因为，所以，
因为，要使为整数，即为整数，
所以，共个，
即使得为整数的正整数的个数是.
故选：C
例4．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【详解】由，得，
又，所以，
整理得，所以，故符合条件的可取1，2，
故选：C．
题型二、已知求（）的值
例5．已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是等差数列，
所以，又，
所以，
故选：C.
题型三、已知求（）的值
例6．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据已知及等差数列前n项和为关于n的常数项为的二次函数，设，，
则.
故选：C
例7．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ．
【答案】
【详解】数列、为等差数列，且 ，
可设，，
则，
所以.
故答案为：.
题型四、已知求（）的值
例8．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据已知及等差数列前n项和为关于n的常数项为的二次函数，设，
则．
故选：D

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