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秒用“恒成立问题中的共零点”巧解新高考全国卷中的一类恒成立问题
一．方法梳理
在定义域内任意恒成立，说明与有相同的正值区间，即它们需要有相同的解区间端点，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的；等价于函数和在定义域内有相同的零点；对任意定义域内任意恒成立，说明的正值区间是的负值区间或者的负值区间是的正值区间，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的。根据这个原理可以求参数的值或范围。
高考中的应用
例1．（2024年高考全国Ⅱ卷数学第8题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】由已知可得，函数与函数在定义域内有相同的零点，即可得，代入可得最值．
【详解】由题意可知：的定义域为，令，则，
与在定义域内为增函数，
对任意恒成立，
与有相同的正值区间和有相同的负值区间，
这两个函数的零点必须是共有的，
等介于函数和在定义域内有相同的零点，
令解得；令解得；
即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
例2．设，若时均有，则.
【分析】由已知可得，函数与函数在定义域内有相同的零点，即可得或（舍去）．
【详解】令函数与函数，
若时均有，
在有唯一零点，
只需与在具有相同零点且，
由得，
可得或（舍去），
．
例3．设，若时，恒有，则
【分析】本题关键先令得到
然后由恒成立问题中的共零点问题得函数与有共同的零点，
得，．
【详解】】因为不等式恒成立，不妨令，
得，则代入
得对任意的恒成立，
设，，
函数与有共同的零点，
得，
评析：以上3例都是高考题，巧妙利用“恒成立问题中的共零点问题”的求解策略，我们可以快速的、干脆利落的解决问题，从而可以有更好的心态去做其他题目，必定超长发挥考出佳绩．
三．专项训练
1．若不等式对上恒成立，则
分析：的零点为，
为使对上恒成立，
当且仅当的图像恰经过的零点，
故选B．
2．已知，满足在定义域上恒成立，则的值为．
分析：令，则
在定义域上恒成立，
由恒成立问题中的共零点问题得：和有共同零点，
由得，
也是的零点，
得．
3．若在上始终成立，则的值为 ．
分析：，．
由恒成立问题中的共零点问题得：的两个零点为1和，
的两根也为1和，
解得．
4．已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为 ．
分析：令，，则
若恒成立，
由恒成立问题中的共零点问题得：函数与函数有相同的零点
由得，由得，
．
5．若不等式，对恒成立，则和分别等于（ ）
A. B. C. D.
分析：令，，则
若不等式，对恒成立，
由恒成立问题中的共零点问题得：函数与函数有相同的零点，
由得，
也是的零点，
故选D．
6．若不等式对任意实数恒成立，则 .
分析：令，，则
若不等式对任意实数恒成立，
由恒成立问题中的共零点问题得：
由得，
也是函数的零点
．秒用“恒成立问题中的共零点”巧解新高考全国卷中的一类恒成立问题
一．方法梳理
在定义域内任意恒成立，说明与有相同的正值区间，即它们需要有相同的解区间端点，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的；等价于函数和在定义域内有相同的零点；对任意定义域内任意恒成立，说明的正值区间是的负值区间或者的负值区间是的正值区间，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的。根据这个原理可以求参数的值或范围。
高考中的应用
例1．（2024年高考全国Ⅱ卷数学第8题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
例2．设，若时均有，则.
例3．设，若时，恒有，则
三．专项训练
1．若不等式对上恒成立，则
2．已知，满足在定义域上恒成立，则的值为．
3．若在上始终成立，则的值为 ．
4．已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为 ．
5．若不等式，对恒成立，则和分别等于（ ）
A. B. C. D.
6．若不等式对任意实数恒成立，则 .

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