资源简介

3.2.2奇偶性 学习案
一、基础梳理
【1】函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
奇函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且______，那么称函数为奇函数． 关于原点对称
偶函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且______，那么称函数为偶函数． 关于轴对称
当函数是奇函数或偶函数时，称具有______．奇函数和偶函数的定义域关于______对称．
【答案】 奇偶性 原点
【2】概念辨析 判断正误．
（1）是定义在R上的函数，若，则一定是偶函数．( )
（2）对于函数，若存在x，使，则函数一定是奇函数．( )
（3）不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
（4）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )
【答案】 错误 错误 错误 错误
【详解】（1）要对任意的，都有，才是偶函数，故该结论错误．
（2）要对任意的，都有，才是奇函数，单是存在某个满足是不符合定义的，故该结论错误．
（3）存在既是奇函数，又是偶函数的函数，比如，故该结论错误．
（4）函数，定义域关于原点对称，但是它既不是奇函数又不是偶函数，故该结论错误．
【3】概念的延伸 具备奇偶性的函数的单调性的特点
在关于原点对称的区间上，偶函数的单调性________；奇函数的单调性________．
【答案】 相反 相同
【5】奇函数、偶函数的对称性
（1）若函数满足，则函数的图象关于直线对称；
（2）若函数满足，则函数的图象关于点______对称．
（3）若是偶函数，则函数图象的对称轴为______；若是奇函数，则函数图象的对称中心为______．
【答案】
考点归纳
①函数奇偶性的定义与判断；②由函数的奇偶性求解析式；③函数奇偶性的应用；④抽象函数的奇偶性；⑤由奇偶性求参数；⑥奇偶函数对称性的应用；⑦由函数的奇偶性解不等式.
巩固训练
一、单选题
1．已知函数是奇函数，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是定义在上的偶函数，且.当时，，则（ ）
A．8 B．2 C．1 D．0
4．已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
5．若为奇函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．或1
6．如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
10．已知函数，则下列结论中满足的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数满足，则（ ）
A．若函数为奇函数，且在上单调递减，那么它在上有最小值－5
B．若函数为奇函数，且在上单调递增，那么它在上有最小值－5
C．若函数为偶函数，且在上单调递减，那么它在上有最大值5
D．若函数为偶函数，且在上单调递增，那么它在上有最小值5
三、填空题
12．已知是奇函数，则实数的值为______．
13．设函数，若是奇函数，则的表达式是___________．
14．已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________．
四、解答题
15．设函数
(1)求的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并加以证明.
16．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式.
17．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴及其左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数的图象；
(2)根据图象写出函数的递增区间；
(3)根据图象写出使的的取值集合.
18．已知函数是定义在上的奇函数，
(1)用定义证明在上单调递增；
(2)解关于的不等式.
19．已知函数，且定义域为．
(1)判定函数的奇偶性；
(2)利用单调性定义证明：在上单调递减；
(3)解关于m的不等式．
解析版
一、单选题
1．已知函数是奇函数，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】利用奇函数的性质，结合分段函数讨论，可得恒等式求系数，即可得出结果.
【详解】由题意知，所以，
当时，由可得：此时等式恒成立，
即，
则，
故选：D
2．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式.
【详解】由题可知，时，，
取，则，，
由奇函数性质可得：.
3．已知是定义在上的偶函数，且.当时，，则（ ）
A．8 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】先结合偶函数性质和已知等式推导函数周期，将待求自变量转化到已知解析式的区间内，代入计算即可得到结果.
【详解】因为是定义在上的偶函数，故对任意，均有，
已知，将替换为，可得，
因此函数的周期，
由偶函数性质得，对2026做带余运算：，
因此，
因为，代入已知解析式得：，故.
4．已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由为奇函数，得，令即可求解．
【详解】由为奇函数，得，
令，得，
得，由，
得．
5．若为奇函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．或1
【答案】C
【详解】，
，
为奇函数，，
，，
，
，对于任意的恒成立，
，，故选项C正确.
6．如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数为偶函数，得到，结合图象，即可求解.
【详解】由题意知，函数为偶函数，可得，
结合函数在上的图象，可得，
所以.
故选：A.
7．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】解法一：根据关于对称即可求解；
解法二：特值法，令即可求解.
【详解】解法一：由于,可得关于点对称，故，
解法二：特殊值法：可令，，
当时，由基本不等式（当且仅当时取等号），可得，
同理可得当时，的最小值为。故当时，的最大值，最小值，
故
故选：B.
8．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】整理可得且，根据题意结合偶函数对称性分析函数的符号，进而解不等式即可.
【详解】因为为偶函数，则，
可得，可得且，
因为在上单调递减，且，
可知在上单调递增，且，
当时，则，故；
当时，则，故；
综上：的解集为.
二、多选题
9．已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】ACD
【分析】由奇偶性的定义确定为奇函数，由此得与奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨论即可.
【详解】设，，
由题意得，即①，
，即②，
②除以①得，即为奇函数，A正确；
由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误，
当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数，
满足为奇函数，为偶函数，
当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数，
不满足为奇函数，故C，D正确.
10．已知函数，则下列结论中满足的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用函数性质，把函数不等式转化为代数不等式求解，根据其解集进行判断.
【详解】对函数，
由 或，故函数定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
又时，在上单调递增，所以函数在上单调递减.
所以 .
由 或.
由 或 或.
所以不等式组的解集为.
故选：BC
11．已知函数满足，则（ ）
A．若函数为奇函数，且在上单调递减，那么它在上有最小值－5
B．若函数为奇函数，且在上单调递增，那么它在上有最小值－5
C．若函数为偶函数，且在上单调递减，那么它在上有最大值5
D．若函数为偶函数，且在上单调递增，那么它在上有最小值5
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性的性质，结合单调性逐项分析求出最值即可.
【详解】对选项A，B，因为奇函数在轴两侧的单调性相同，所以当函数在上单调递减时，它在上单调递减，故最小值为，故A正确；
当函数在上单调递增时，它在上单调递增，故最大值为，故B错误；
对选项C，D，因为偶函数在轴两侧的单调性相反，所以当函数在上单调递减时，它在上单调递增，故最大值为，故C正确；
当函数在上单调递增时，它在上单调递减，故最小值为，故D正确．
故选:ACD．
三、填空题
12．已知是奇函数，则实数的值为______．
【答案】/0.5
【分析】根据奇函数的定义域具有对称性，则，再代入验证即可.
【详解】由题意得，
又因为其为奇函数，则其定义域具有对称性，
则，解得，则，
此时，解得，定义域关于原点对称，
且，则为奇函数，满足题意.
故答案为：.
13．设函数，若是奇函数，则的表达式是___________．
【答案】，
【分析】根据函数的奇偶性求解析式即可.
【详解】因为是奇函数，所以.
因为时，，
所以当时，，所以.
所以，.
又当时，，所以，.
14．已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________．
【答案】
【分析】根据偶函数及单调性列不等式求解即可．
【详解】由偶函数知，由单调性知，解得，
所以解集为．
故答案为：．
四、解答题
15．设函数
(1)求的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并加以证明.
【答案】(1)
(2)为偶函数，证明见解析
【分析】（1）由求解即可得定义域；
（2）先判断函数奇偶性，再利用函数奇偶性的定义证明即可.
【详解】（1）由题意，解得，
所以的定义域为；
（2）为偶函数.
由（1）知：的定义域关于原点对称，
又，所以为偶函数.
16．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式.
【答案】
【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式.
【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数，
所以，，
由①，则，即②，
①＋②得：，则，
①－②得：，则，
所以.
17．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴及其左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数的图象；
(2)根据图象写出函数的递增区间；
(3)根据图象写出使的的取值集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数是奇函数关于原点对称得出右侧图象；
（2）数形结合得出函数增区间；
（3）数形结合得出不等式的解集.
【详解】（1）由题意作出函数图象如图所示：
（2）由图可知，单调递增区间为.
（3）由图可知，使的的取值集合为.
18．已知函数是定义在上的奇函数，
(1)用定义证明在上单调递增；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)对于任意的，且，
则，
∵，∴，，∴，
∴，即，
∴函数在上是增函数.
(2)
【分析】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证；
（2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解.
【详解】（1）略
（2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数，
则，即，
所以，解得，
则不等式的解集为．
19．已知函数，且定义域为．
(1)判定函数的奇偶性；
(2)利用单调性定义证明：在上单调递减；
(3)解关于m的不等式．
【答案】(1)函数为奇函数，理由见详解
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可；
（2）利用函数单调性定义证明即可；
（3）利用函数奇偶性与单调性建立不等式组求解即可.
【详解】（1）函数为奇函数，理由如下：
因为函数定义域为，定义域关于原点对称，
且，
所以函数为奇函数.
（2）证明：取，规定，
则
因为，所以，
所以，即，
由，所以函数在上单调递减.
（3）因为函数在上单调递减，且函数为奇函数，
所以函数在上单调递减，由，
所以函数在上单调递减，
所以不等式即，
因为函数是奇函数，所以，
又函数在上单调递减，
所以不等式的解集等价于或，
解得或，
所以关于m的不等式的解集为：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

展开更多......

收起↑