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巧用“奇穿偶回”速解新高考全国卷一类函数题
方法梳理
定义：函数有零点，且为重根.当为奇数时，函数的图像在处图像穿过轴,如图1-1；当为偶数时，函数的图像在处图像不穿过轴而回头，如图1-2.我们把这种性质称之为函数图像的“奇穿偶回”性质.借助这个性质可以快速作出函数的草图，借助图像的形秒解象2024年新高考全国Ⅱ卷数学第8题和2025年新高考全国Ⅱ卷数学第13题这类函数问题.
图例
，零点1处图像“回”,零点-1处图像“穿”
，零点1处图像“回”,零点2处图像“穿”
（3),零点0处图像“回”,零点1处图像“穿”
二、高考中应用
例1．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第8题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
例2．（2025年新高考全国Ⅱ卷数学第13题）若是函数的极值点，则___________
例3．已知e为自然对数的底数，设函数，则（ ）
A．当时，在处取到极小值 B．当时，在处取到极大值
C．当时，在处取到极小值 D．当时，在处取到极大值
例4．(2012年浙江理）设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．
三、专项训练
1．若不等式对任意恒成立，则 .
2．设，若为函数的极大值点，则（ ）
B. C. D.
3．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.若不等式对任意的恒成立，则（ ）
B. C. D.
5.设，若对任意，都有，则= ，____________.
6.已知函数，，当时，，则 实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.巧用“奇穿偶回”速解新高考全国卷一类函数题
方法梳理
定义：函数有零点，且为重根.当为奇数时，函数的图像在处图像穿过轴,如图1-1；当为偶数时，函数的图像在处图像不穿过轴而回头，如图1-2.我们把这种性质称之为函数图像的“奇穿偶回”性质.借助这个性质可以快速作出函数的草图，借助图像的形秒解象2024年新高考全国Ⅱ卷数学第8题和2025年新高考全国Ⅱ卷数学第13题这类函数问题.
图例
，零点1处图像“回”,零点-1处图像“穿”
，零点1处图像“回”,零点2处图像“穿”
（3),零点0处图像“回”,零点1处图像“穿”
二、高考中应用
例1．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第8题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据奇穿偶回，即可得，代入可得最值.
【解析】由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
，对恒成立，当时，当时
的图像向下不可能穿过轴而是体现“回”的性质
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
例2．（2025年新高考全国Ⅱ卷数学第13题）若是函数的极值点，则___________
【分析】由极值的定义可知，函数在左右两侧的函数值必定同号，即函数的图像不可能穿过而是体现“回”的性质，是的二重根，可求解，再代入即可求解.
【解析】由题意有，
是的极值点
函数在左右两侧的函数值必定同号
当时，当时
函数的图像不可能穿过而是体现“回”的性质
是的二重根
得，
所以.
故答案为：.
评析：利用奇穿偶回解上述两道全国Ⅱ卷的高考题，可以说是秒解，拿到试卷正式开考前5分钟口算就可以解决的问题，象2025年第13题根本不用求导，2024年的第8题不用分类讨论了.
例3．已知e为自然对数的底数，设函数，则（ ）
A．当时，在处取到极小值 B．当时，在处取到极大值
C．当时，在处取到极小值 D．当时，在处取到极大值
分析：利用奇穿偶回画图可知，当时，和都是一重根，在处无极值；当时，为的二重根，显然在处取到极小值．故选C
例4．(2012年浙江理）设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．
分析：由奇穿偶回为两重根，代入得
三、专项训练
1．若不等式对任意恒成立，则 .
分析：由奇穿偶回，必为两重根，
2．设，若为函数的极大值点，则（ ）
B. C. D.
分析：奇穿偶回得或,故选D
3．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
分析：利用奇穿偶回画图可知，当时，在处取得极大值，当时，在处取得极小值，故选A．
4.若不等式对任意的恒成立，则（ ）
B. C. D.
分析：利用奇穿偶回画图可知，．
5.设，若对任意，都有，则= ，____________.
分析：利用奇穿偶回画图可知，.
6.已知函数，，当时，，则 实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
分析：利用奇穿偶回画图可知，可得 C.

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