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福建宁德市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在三棱锥中，( )
A. B. C. D.
4.定义在上的奇函数满足当时，，在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6.若事件，满足，，，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
7.在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.一根绳结在地面的影子如图所示看不出各部分的上下层次现将绳结的两头向两端拉紧，会打成一个结的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下说法正确的是( )
A. 独立性检验中，的值越小，越有把握认为两个分类变量有关系
B. 若变量与变量的相关系数，则变量与之间的正相关性很强
C. 随机变量，若，，则
D. 在回归方程中，当每增加个单位时，平均减少个单位
10.已知正方体的棱长为，点是线段上的动点，则( )
A.
B. 平面内存在直线平行于平面
C. 点到平面的距离为
D. 与平面所成角的正弦值为
11.已知函数的定义域为，则( )
A. 为奇函数 B. 在上单调递增
C. 有且仅有个极值点 D. 有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数 ．
13.将一枚质地均匀的硬币抛掷次，则正面朝上的次数比反面朝上少的概率是 ．
14.若，，不等式恒成立，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年“闽超”足球联赛火热开赛，赛场外同步开展特色好物展销活动，主办方统计了连续场比赛的观赛人数与特色产品单日销售额．设为单场观赛人数单位：千人，为特色产品单日销售额单位：千元，得到了如下数据：
由数据可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测单场观赛人数为千人时特色产品单日销售额；
若观赛人数不低于千人的场次称为“热门场次”，从场比赛中随机选出场，记其中热门场次的数量为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，．
16.本小题分
设函数，．
求的单调区间；
若在上的最大值为，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，，，将沿翻折，得到如图所示的四棱锥，记二面角的平面角为．
当时，求证：平面；
当时，求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
某奶茶店每日经营状态分为热销状态和平淡状态，当日经营状态仅由前一日状态决定．设为店铺第天处于热销状态的概率，店铺开业首日为热销状态，即．
状态转移规则如下：
当日为热销状态时，次日保持热销状态的概率为，转为平淡状态的概率为；
当日为平淡状态时，次日转为热销状态的概率为，保持平淡状态的概率为．
已知当日为热销状态时利润为元，为平淡状态时利润为元．
求，；
求；
记第天的利润为，证明：．
19.本小题分
“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任意恒成立”，已知函数．
求函数的对称中心；
若在定义域内恒成立，求的取值范围；
设，为的两个不同的极值点，求．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由数据可得，，，
则，
，
所以，，
因此，关于的线性回归方程为：，
当时，千元，
因此，预测单场观赛人数为千人时特色产品单日销售额为千元．
由题意可知，“热门场次”共有场，即的可能取值为，，，
，，，
故的分布列为
．

16.【答案】解：由得，
解得，．
当或时，；
当时，；
的单调递增区间为和，
单调递减区间为．
由知在和单调递增，在单调递减，
当时，有极大值，
又，
由得，当且仅当时取得最大值符合题意，
的取值范围为．

17.【答案】解：当时，
平面平面，平面平面，
，由折叠可知，，
平面，平面，
平面，则，
又在三角形中，
易知，，，
则，所以，
又，平面，平面，
所以平面
方法二：
由折叠可知，，，
所以即为二面角的平面角，
当时，，
如图，建立空间直角坐标系
，，，，
则，，，
，，
所以，，
又，平面，平面，
所以平面．
由折叠可知，，，
所以即为二面角的平面角，
则，
又，所以平面，
平面，平面平面，且交线为，
过作于点，则平面，
如图，以为原点，的平行线为轴，建立空间直角坐标系
在中，，，所以，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，

设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，

，
则平面与平面所成角的余弦值为．

18.【答案】解：依题意得，
．
依题意得
，
整理得，
所以，
即，
又，
则是一个以为首项，为公比的等比数列，
所以，
则．

随着的增大而减小，
当时，，
所以．

19.【答案】解：因为的定义域为，且定义域关于对称中心对称，所以对称中心的横坐标为，
而，
所以的对称中心为．
由知，则，
即，因为，所以在上单调递增，
则，整理得，
令，则，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故，
所以，即的取值范围为．
由题意得，
则，令，
则，那么，
而，所以在上单调递减，在上单调递增，
即故在和上单调递增．
又因为，，
则存在使得，
从而在和单调递减，在单调递增．
而，
，，，
所以，，
使得，．
整理得，，则，
而，所以，
所以．

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