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四川遂宁市2025-2026学年高二下期期末教学质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量的方差，若离散型随机变量，则( )
A. B. C. D.
2.如图，若电路从到只有一条支路接通，则不同的路径有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.某学校计划开设一门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到如下的列联表：单位：人
性别 参加该课程的意愿 合计
愿意参加 不愿意参加
男生
女生
合计
则由列联表计算 附：，
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
5.为了解户籍性别对前沿工科选择倾向的影响，某县域高中从高三学生中随机抽取了容量为的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各人，男生人，女生人，绘制不同群体中倾向选择前沿工科与不选择前沿工科的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择前沿工科的对应比例，则( )
A. 是否倾向选择前沿工科与户籍无关
B. 是否倾向选择前沿工科与性别有关
C. 倾向选择前沿工科的人员中，男生人数与女生人数相同
D. 倾向不选择前沿工科的人员中，农村户籍人数多于城镇户籍人数
6.在的展开式中，第项的二项式系数为，则( )
A. B. C. D.
7.已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加两个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为( )
A. B. C. D.
8.初等函数被定义为：由常数与基本初等函数幂、指数、对数、三角等经有限次有理运算加、减、乘、除和有限次复合得到的、能用一个解析式表示的函数如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数根据以上材料，对于初等函数，则( )
A. 的单调递增区间 B. 有极大值
C. 的单调递减区间 D. 有极小值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为样本空间上的两个随机事件，其中，，则( )
A. B. 如果与为互斥事件，则
C. 如果，则 D. 如果与相互独立时，则
10.已知函数，则( )
A. 当时，有两个极值点
B. 当时，过点可作曲线的两条切线
C. ，使得有两个零点
D. ，点都是曲线的对称中心
11.某商场开展为期天的庆五一抽消费券活动，活动要求：在商场消费满元的顾客可以通过手机扫码参与消费券抽奖活动，已知第一次中奖的概率为；从第次抽奖开始，若前一次未中奖，则本次中奖的概率为，若前一次中奖，则本次中奖的概率为，记第次中奖的概率为，则( )
A. B. 数列为等比数列
C. 对任意正整数，都有 D. 当时，越大，越小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中常数项为 ．
13.一箱罐的饮料中罐有奖券，从中一次性任意抽取罐，则这罐中有奖券的概率是 ．
14.已知，并满足，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某医院某科室现有名医生和名护士结果用数字作答
若名护士排成一行，则有多少种不同的排法？
若人排成一行，甲、乙两人必须排在两端，则有多少种不同的排法？
该科室开展义诊活动，需要临时从中抽调名医护人员，为了保障该科室工作正常运作，该科室内至少需要留有名医生和名护士，则不同的抽调方案共有多少种？
16.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
若，且函数有个零点，求的取值范围．
17.本小题分
在综艺答题闯关节目中，每轮比赛，两位参赛选手各答一道题目，计分规则：一人答对、一人答错时，答对者得分，答错者得分；两人都答对，每人各得分；两人都答错，则两人均得分已知甲，乙两人实力相当，每轮答题正确率都为，且两人答题相互独立，每轮比赛也相互独立，比赛共进行轮．
设表示在轮比赛中，甲得分的轮数，求的分布列和数学期望；
若比赛结束后，累计得分高者获胜晋级，求甲最终获胜晋级的概率是多少？
18.本小题分
重庆某大型电动摩托车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入，该公司近年的年广告费单位：百万元和年销售量单位：百万辆关系如图所示：
令，数据经过初步处理得：，，，且的方差为，的方差为，现有和两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数．
请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
根据的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为百万元时，产品的年销售量是多少？
该公司生产的电动摩托车毛利润为每辆元不含广告费、研发经费该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的倍电动摩托车的年净利润除受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足在的条件下，求该公司年净利润的最大值大于百万元的概率年净利润毛利润年销售量年广告费年研发经费随机变量．
附：
相关系数，回归直线中公式分别为，；
参考数据：．
19.本小题分
已知函数，其导函数为，且函数．
求的单调区间；
设为的极小值，证明：．
若恒成立，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：名护士排成一行有种排法；
先排甲、乙，再排其余人，根据分步乘法计数原理，共有种排法；
要使科室内至少留有名医生和名护士，则有以下两类情况：
抽调的名医护人员由名医生名护士组成，则有种；
抽调的名医护人员由名医生名护士组成，则有种
所以不同的抽调方案共有种

16.【答案】解：当时，则，于是，
令，即，解得
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
故有极小值为，无极大值
当，有个零点，即方程有个实数解，
设，，令，得
当时，，则在单调递减，且时，
当时，，则在单调递增，且时，，的最小值为，
所以要使函数有个零点，则需，
故的取值范围为．

17.【答案】解：每轮比赛“甲得分”的概率为
因为每轮比赛相互独立，故服从二项分布
，
，
，
，
故的分布列为
的数学期望为，
或；
每轮比赛甲得分的概率为，
乙得分的概率为，
两人均得分或均得分，即两人分差为的概率为．
甲最终获胜可分为以下三种情况：
甲轮都得分，其概率为；
甲有轮得分，另轮乙得分或分差为，其概率为；
甲有轮得分，另外轮分差为，其概率为．
综上，甲最终获胜的概率为

18.【答案】解：设模型和的相关系数分别为，，因为的方差为，的方差为，所以，，则由题意可得：，
，
所以，由相关系数的相关性质可得，模型的拟合程度更好；
因为，
又由，，
得，
所以，即回归方程为，
当时，，
因此当年广告费为百万元时，产品的销售量大概是百万辆；
净利润为，，
令，所以，由，解得，
由，解得，所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，
由题意得：，即，
，
即该电动摩托车公司年净利润大于百万元的概率为．

19.【答案】解：函数定义域为
，
令，，
因为时，；时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
由知的单调递增区间为，单调递减区间为
因为，，，所以存在使得，
当时，；当时，；当时，．
因此在区间上递减，在上递增，在上递减．
所以的极小值为，因为，，
所以，即，
故
由知，，即
设，则，且，于是上述不等式化为，即．
设
由，知时，；时，．
所以在区间上递减，在上递增．
于是，且时，，
所以，当时，的值域为，即的取值范围为
故恒成立，等价于当时，不等式恒成立．
设，则，
当时，；当时，，
于是在上递减，在上递增．
所以在上的最小值为，
所以，即的取值范围为．

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