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2025-2026学年福建省福州市部分学校联考高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z=（a2+a）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数则实数a=（　　）
A. 0 B. -1 C. -1或0 D. 1
2.已知两个非零向量，满足|+|=|-|，则下面结论正确的是（　　）
A. ∥ B. ⊥ C. ||=|| D. +=-
3.在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A=（　　）
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
4.如图，△ABC由斜二测画法画的水平直观图是A′C′=2的等腰直角三角形A′B′C′，那么它在原平面图形中，顶点B到AC的距离是（　　）
A. 1
B.
C. 2
D.
5.已知直线l垂直于平面α，直线m,n在平面β内，则“m⊥l且n⊥l”是“α∥β”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图二是该组合体的轴截面，则它的表面积是（　　）
A. 64π B. 77π C. 80π D. 84π
7.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=，则AB1与BC1所成角的大小为（　　）
A. 60°
B. 90°
C. 105°
D. 75°
8.如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD=BD=1，CD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题为真命题的是（　　）
A. 若z为纯虚数，则z2是实数
B. 若i为虚数单位，则i23=i
C. 复数-2-i在复平面内对应的点位于第三象限
D. 复数的共轭复数为2+i
10.抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件M，“点数为奇数”记为事件N，“点数小于4”记为事件Q.下列说法正确的是（　　）
A. M与N为互斥事件 B. M与Q为对立事件
C. N与Q不为互斥事件 D. N与Q为相互独立事件
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M是其侧面ADD1A1上的一个动点（含边界），点P是线段CC1上的动点，则（　　）
A. PM的长度范围是
B. 存在点P，M，使得平面B1D1M与平面PBD平行
C. 存在点P，M，使得二面角M-DC-P大小为
D. 当P为棱CC1的中点且时，则点M的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则= .
13.已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为 .
14.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设a是实数，复数z1=2-i,z2=（a+i）（1-2i）（i是虚数单位）.
（1）若z2在复平面内对应的点在第一象限，求a的取值范围；
（2）求|+z2|的最小值.
16.(本小题15分)
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=．
（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求二面角A-BE-P的大小．
17.(本小题15分)
为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在（0，30]内，按照（0，5]，（5，10]，（10，15]，（15，20]，（20，25]，（25，30]分组，得到如下频率分布直方图.
（1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数；
（2）求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数；
（3）现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求P（A），P（B），并判断A，B是否相互独立.
18.(本小题17分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.
（1）求A；
（2）若c=4，求△ABC的面积的取值范围；
（3）如图，若D为△ABC外一点，且，求a.
19.(本小题17分)
如图，△ABC中，AB=2，AC=1，点D在线段BC上，△ABE为等边三角形.
（1）若，∠CAB=120°，求线段AD的长度；
（2）若，求线段DE的最大值；
（3）若AD平分∠BAC，求△ACD与△ABD内切圆半径之比的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】AC
11.【答案】BCD
12.【答案】3
13.【答案】11
14.【答案】9
15.【答案】
16.【答案】解：（1）证明：如图所示，连接BD，

因为平面ABCD是菱形且∠BCD=60°，所以△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
因为PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，
所以PA⊥BE．
而PA∩AB=A，平面PAB，
因此BE⊥平面PAB．
又BE 平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB；
（2）由（1）知，BE⊥平面PAB，PB 平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA==，
又，
则∠PBA=60°．
故二面角A-BE-P的大小是60°.
17.【答案】平均数为19，中位数为20；
24；
P（A）=0.2，P（B|A）=0.48，P（A）=0.54，P（B）=0.36，A，B不相互独立．
18.【答案】；
；
a=6．
19.【答案】；
；
．
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