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福建宁德市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若函数，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.18 B. 0.24 C. 0.32 D. 0.36
3.如图，在三棱锥中，（ ）
A. B. C. D.
4.定义在上的奇函数满足当时，，在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6.若事件，满足，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.一根绳结在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现将绳结的两头向两端拉紧，会打成一个结的概率是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.以下说法正确的是（）
A. 独立性检验中，的值越小，越有把握认为两个分类变量有关系
B. 若变量与变量的相关系数，则变量与之间的正相关性很强
C. 随机变量，若，，则
D. 在回归方程中，当每增加1个单位时，平均减少0.2个单位
10.已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则（ ）
A. B. 平面内存在直线平行于平面
C. 点到平面的距离为 D. 与平面所成角的正弦值为
11.已知函数的定义域为，则（ ）
A. 为奇函数 B. 在上单调递增
C. 有且仅有4个极值点 D. 有5个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数 ．
13.将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，则正面朝上的次数比反面朝上少的概率是 ．
14.若，，不等式恒成立，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2026年“闽超”足球联赛火热开赛，赛场外同步开展特色好物展销活动，主办方统计了连续5场比赛的观赛人数与特色产品单日销售额．设为单场观赛人数（单位：千人），为特色产品单日销售额（单位：千元），得到了如下数据：
6 7 8 9 10
3 5 6 7 9
(1)由数据可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测单场观赛人数为15千人时特色产品单日销售额；
(2)若观赛人数不低于8千人的场次称为“热门场次”，从5场比赛中随机选出2场，记其中热门场次的数量为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，．
16.(本小题15分)
设函数，．
(1)求的单调区间；
(2)若在上的最大值为5，求实数的取值范围．
17.(本小题15分)
如图1，在等腰梯形中，，，，，将沿翻折，得到如图2所示的四棱锥，记二面角的平面角为．
(1)当时，求证：平面；
(2)当时，求平面与平面所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
某奶茶店每日经营状态分为热销状态和平淡状态，当日经营状态仅由前一日状态决定．设为店铺第天处于热销状态的概率，店铺开业首日为热销状态，即．
状态转移规则如下：
①当日为热销状态时，次日保持热销状态的概率为，转为平淡状态的概率为；
②当日为平淡状态时，次日转为热销状态的概率为，保持平淡状态的概率为．
已知当日为热销状态时利润为元，为平淡状态时利润为元．
(1)求，；
(2)求；
(3)记第天的利润为，证明：．
19.(本小题17分)
“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任意恒成立”，已知函数．
(1)求函数的对称中心；
(2)若在定义域内恒成立，求的取值范围；
(3)设，为的两个不同的极值点，求．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】1
15.【答案】解：（1）由数据可得，，，
则，
，
所以，，
因此，y关于x的线性回归方程为：，
当时，（千元），
因此，预测单场观赛人数为15千人时特色产品单日销售额为15.8千元.
（2）由题意可知，“热门场次”共有3场，即的可能取值为0，1，2，
，，，
故的分布列为
0 1 2
.

16.【答案】解：（1）由得，
解得，．
∵当或时，；
当时，；
的单调递增区间为和，
∴单调递减区间为．
（2）∵由（1）知在和单调递增，在单调递减，
∴当时，有极大值，
又，
由得，当且仅当时取得最大值5符合题意，
的取值范围为．

17.【答案】解：(1)当时，
平面平面，平面平面，
，由折叠可知，，
∵平面，∴平面，
∵平面，则，
又在三角形中，
易知，，，
则，所以，
又∵，平面，平面，
所以平面．
方法二：
由折叠可知，，，
所以即为二面角的平面角，
当时，，
如图，建立空间直角坐标系
，，，，
则，，，
，，
所以，，
又∵，平面，平面，
所以平面．
（2）由折叠可知，，，
所以即为二面角的平面角，
则，
又，所以平面，
∵平面，∴平面平面，且交线为，
过作于点，则平面，
如图，以为原点，的平行线为轴，建立空间直角坐标系
在中，，，所以，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
∴.
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
∴.
，
则平面与平面所成角的余弦值为．

18.【答案】解：（1）依题意得，
．
（2）依题意得
，
整理得，
所以，
即，
又，
则是一个以为首项，为公比的等比数列，
所以，
则．
(3)

随着的增大而减小，
当时，，
所以．

19.【答案】解：（1）因为的定义域为，且定义域关于对称中心对称，所以对称中心的横坐标为2，
而，
所以的对称中心为．
（2）由（1）知，则，
即，因为，所以在上单调递增，
则，整理得，
令，则，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故，
所以，即a的取值范围为．
（3）由题意得，
则，令，
则，那么，
而，所以在上单调递减，在上单调递增，
即．故在和上单调递增．
又因为，，
则存在使得，
从而在和单调递减，在单调递增．
而，
，，，
所以，，
使得，．
整理得，，则，
而，所以，
所以.

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