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北海市2026年春季学期期末教学质量检测
高一数学
(本试卷满分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答素标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答策书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的、
1m
8.、3
c.2
1
0.
2
2
2.函数f(x)=sin2x+cos2x的最大值为
A.1
B.√2
C.2
D.
2
3.己知直角梯形ABCD,AD//BC,∠B=90°，绕着它的腰AB所在直线旋转一周，形成的面所围的
几何体为
A.球体
B.圆锥
C.圆台
D.圆柱
4.15°化为弧度为
1
1
1
A.127
B.
π
C.I
D.
8
6
5.已知a=(-√3，-1)，b=1,3),那么a,b的夹角0=
A.君
c.2
6
6.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度
的“会圆术”·如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的
中点，D在AB上，CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计
【高一数学第1页（共4页）】
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治發g人4用许日F
算公式：S=AB+CD
当OA=2,∠AOB=60°时，g=
A
11-3V5
B.11-4V3
c9-35
9-4V5
D.
2
2
2
2
7.在△ABC中，点D为BC边上靠近B的三等分点，点E为线段AD的中点，BE与AC交于点F.
若AB=a,AC=b,则AF=
4.
e.Ia
c.2
D.
36
4
31
8.已知函数f(x)=4V2sin0x。
上单调，则正实数0的取
2
2
值范围为
A,1<0≤4
B.0<0≤3
C.2<0≤4
D.1≤0≤2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，在六棱柱ABCDEF-A B'CD'E'F中，底面ABCDEF为正六边形，
则下列结论正确的有
A.AA'//DD'
R直线EF与平面ABB'平行
C.直线A'D'⊥CF
D.点A和D到下底面的距离相等
10.已知函数f(x)=sinx+√3cos(π+x),则下列说法正确的是
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的一条对称轴为x=
5π
6
c.f(x)在x∈[0,3π]有三个零点
D.函数fx+乃)为偶函数
11.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=b(2CosA+1),则下列结论正确的有
A.A=2B
B.若a三√3b,则△ABC为直角三角形
C.若△1BC为锐角三角形，1
1
的最小值为1
tan B tan A
D,若△1BC为锐角三角形，则C的取值范用为(2,25)
2’3
【高一数学第2页（共4页）】
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高一数学 参考答案
sin π sin π 31.B 由诱导公式， 3
.故选 B.
3 2

2.B 由辅助角公式可得 f (x) 2 sin(2x )，故函数最大值为 2.故选 B.4
3.C 根据圆台定义可得结论.该旋转体为圆台.故选 C.
15 4.A 15 . 故选 A
180 12 .
ar
r r
5.D 因为 ( 3, 1)，b (1, 3)，所以 a 2， b 2， a b 3 1 1 3 2 3 ，

cos a b 2 3 3 5π所以 [0, π] D.a b 2 2 2 ，又因为 ，所以 ．故选 6
6.B 依题意，知△OAB 是等边三角形，所以 AB＝OA＝2.连接 OC．
因为 C 是 AB 的中点，所以 OC⊥AB，OC＝ 2－ 2＝ 3，
3
2
又 CD⊥AB，所以 O，C，D 三点共线，所以 CD＝OD－OC＝2－ ，所以 s＝AB＋ ＝2＋

(2－ 3)2 11－4 3
＝ ．故选 B．
2 2
1 1
7.A ∵ BD BC (AC AB) 1 b 1 a，
3 3 3 3
1 1 2 1
∴ AD AB BD a b a a b
3 3 3 3

AF AC b FC AC AF 1 b AE 1

设 ，则 （ ）， AD 1 a 1 b，
2 3 6
∵ B,E,F 共线，所以存在实数 ，使得 AF AE (1 )AB，
1 1
即 b ( a b) (1 )a ，∴ b ( 1 )a b，
3 6 3 6

1 0 3 3 1
又∵ a,b 1不共线，∴ ，解得 ， ，即 AF b .故选 A.
2 4 4 6
【高一数学参考答案 第 1 页（共 8 页）】
{#{QQABQQAQggigAgBAAAgCUQFwCgGYkhGACAoOxBAQMAABAQNABAA=}#}

8.B 方法一：由辅助角公式化简为 f (x) 4sin( x ) 5 2，由正弦函数的单调性，令
4
2k x 2k , 2k 3 2k 解得 x ,k Z ,又 f (x)在 0,
2 4 2 4 4 4
2k x 3 2k 单调，可知该范围落在 ,k Z，所以当 k 0时，
4 4
0, 3 3
4
, ,即 ,解得0 3 .故选 B. 4 4 4 4
方法二：由辅助角公式化简为
f (x) 4sin( x ) 5 2 x 0, x , ， ，

，
4 4 4 4 4 4
又 f (x) 0, 在 单调，故 , ， ， ，得 3 4 4 4 4 2 2 4 4 2
解得0 3 .故选 B.
9.AD 据棱柱的定义可知 AA / /DD ，故 A 正确；
由于 ABCDEF为正六边形，则直线 EF与 AB相交，所以直线 EF与
平面 ABB A 不平行，故 B 错误；
由于 A D / /AD，而直线 AD与CF不垂直，所以 C 错误
由于棱柱的上下两个底面互相平行，点 A 和D 都在上底面，
故点 A 和D 到下底面的距离相等，D正确. 故选 AD．
10.ABC 由题意得 f (x) sin x 3 cos x 2sin(x )根据 f (x)的周期T 2 ， A项正确；
3
根据 f (5 ) 2sin(5 ) 2， f (x)取到最值， B项正确；
6 6 3
当 x 0,3 x 8 时， ,

，
3 3 3
f (x) 有三个零点分别满足 x 0, ,2 x 4 7 ，即 或 或 ，C项正确；
3 3 3 3
因为 f (x ) 2sin(x )，可知 f (x )不为偶函数，故D项不正确. 故选 ABC
6 6 6 .
【高一数学参考答案 第 2 页（共 8 页）】
{#{QQABQQAQggigAgBAAAgCUQFwCgGYkhGACAoOxBAQMAABAQNABAA=}#}
11.ABD 对于 :△ 中，由正弦定理得 sin = 2sin cos + sin ，
由 sin = sin( + )，得 sin cos cos sin = sin ，即 sin( ) = sin ，
由 0 < ， < ，则 sin > 0，故 0 < < ，所以 = 或 + = ，
即 = 2 或 = (舍去)，即 = 2 ，A正确;
3
对于 ，结合 = 2 和正弦定理知sin = sin2 = sin ，可得 cos =
3
2 ，

又 0 < ， < ，故 A= 2 = 3， = 2，B正确;
对于 ，在锐角△ 中，0 < < 2，0 < = 2 <

2，0 < = 3 <

2，
2 2
即6 < <
3 1 1 1 1 tan 1+tan
4， 3 < tan < 1．故tan tan = tan 2tan = 2tan > 1，C错误;

对于 ，在锐角△ 中，由6 < <
2
4， 2 < cos <
3
2 ．
= sin = sin3 sin2 cos +cos2 sin 1 2 2 3则 sin sin2 = sin2 = 2cos 2cos ．由函数单调性知， ∈ ( 2 , 3 )，D正确;
故选 ABD．
3 4 sin 3 3
12. 由题意，得 cos ,所以 tan ，故答案为 .
4 5 cos 4 4

13. ( 3, 1) a 3b ( 5,5), a b (3,1) a b，由向量 a在b方向上的投影向量为 2 b
b
2 2
所以 (a 3b) (a b) 10, a b (a b) 10,则 a 3b在 a b方向上的投影向量为

(a 3b) (a b)
2 (a b) ( 3, 1).故答案为 ( 3, 1).
a b
3 3 BC
14. 由正弦定理可得 2r ，而 BC 3， BAC 60
4 sin BAC ，
3
则 2r，解得 r 1 1，设 P到面 ABC的距离为 d ，而VP ABC S ABCd ，3 3
2
如图，我们作出符合题意的三棱锥P ABC ，连接 AO，若三棱锥 P ABC 的体积最大，则
S ABC ,d同时最大即可，
【高一数学参考答案 第 3 页（共 8 页）】
{#{QQABQQAQggigAgBAAAgCUQFwCgGYkhGACAoOxBAQMAABAQNABAA=}#}
由三角形面积公式得 S 1 3 ABC AB AC
3
AB AC，
2 2 4
2 2
由余弦定理得到 AB AC AB AC 3 AB AC，当且仅当 AB AC时取等，
S 3 3 3 3即 ABC ，故△ 面积取得最大值为 ，4 4
由题意得球的半径为 2， r 1，设球心到面 ABC的距离为 d1，
2 2
由勾股定理得 d1 2 1 3，则O到平面 ABC的距离为 3，
设直线 AO与平面 ABC所成角为 ，则 sin 3 ，而 0 ，90 ，
2
故 60 ，则直线 AO与平面 ABC所成角为60 ，
因为三棱锥P ABC 的各顶点均在半径为 2的球O球面上，
所以OA OP 2，而 AP 2 2，则故 PAO 是以O为顶点的等腰直角三角形，
得到 PAO APO 45 ，
当平面PAO 垂直于平面 ABC时，点 P到平面 ABC的距离最大，
最大距离为 PA sin(45 60 ） 3 1，
1 3 3 3 3 3 3
故三棱锥 体积的最大值为VP ABC （ 3 1） .故答案为 .3 4 4 4

15．解：(1)∵ AD AB BC CD …………………………2分
∴ (4,1) (3， 1) ( 1, 2) (4 3 1,1 1 2) …………………………4分
即 AD (6, 2) …………………………6分

（2）∵ a (4,1) ,b (3, 1) , c ( 1, 2)

∴ a 2b （10，-1），b kc （3+k,-1+2k） …………………………8分

∵向量 a 2b与向量b kc垂直,∴ (a 2b) (b kc) 0
即(10, 1) (3 k , 1 2k) 0 …………………………12分
【高一数学参考答案 第 4 页（共 8 页）】
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30 10k 1 2k 0 k 31∴ ，即 …………………………13分
8
16.解：（1）因为 2cosC acosB bcosA c，
所以利用正弦定理化简得： 2cosC sinAcosB sinBcosA sinC，…………………………2分
整理得： 2cosCsin A B sinC，
C 0,π ,sinC 0， sin A B sinC， …………………………4分
cosC 1 ，又 0 C π， π C . …………………………7 分
2 3
2 2 2
1
（ ）由余弦定理得 7 a b 2ab ， …………………………9 分
2
S 1 absinC 3 ab 3 3 ， ab 6， …………………………11 分
2 4 2
(a b)2 3ab 7 (a b)2 18 7 ， a b 5， …………………………13分
ABC的周长为5 7. …………………………15 分
17.解：（1）因为 PAD 是等边三角形，O是 AD中点，
所以 AD PO …………………………2分
又因为 AD PB， PO，PB 平面 POB， PO PB P， …………………………4 分
所以 AD 平面 POB . …………………………5 分
(2)解法一：几何法 P
在菱形 ABCD中， AD / /BC ，因为 AD 平面 POB， H
D
所以 BC 平面 POB …………………………7 分 O
在平面 POB内，作OH PB A于H， B
因为 BC 平面 POB，OH 平面 POB，
所以OH BC， …………………………9分
又因为OH PB， PB， BC 平面 POB， PB BC B，
所以OH 平面 PBC ，
所以OH 的长度为点O到平面 PBC 的距离. …………………………11 分
在Rt AOB中，因为 AB 4， AO 2， AOB 90 ，
所以OB 2 3，同理OP 2 3， …………………………13 分
2 2
又因为PB 2 6,所以 PO OB PB ，所以 PB边上的高OH 6，
【高一数学参考答案 第 5 页（共 8 页）】
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即点O到平面PBC 的距离为 6 . …………………………15 分
解法二：等积法
OP AD,OP OB,AD OB O, 所以OP 平面ABCD, …………………………7 分
因为AD 平面POB， BC / /AD ,所以BC 平面POB …………………………9分
又因为PB 平面POB， 所以BC PB ,所以S PBC 4 6
因为OP 2 3，S OBC 4 3, …………………………11 分
设O到平面PBC的距离为h,由VP OBC=VO PBC可得 …………………………12 分
1 1
4 3 2 3 4 6 h h 6 …………………………14 分
3 3
所以点O到平面PBC的距离为 6. …………………………15 分
A B 60
18.解：(1)由题意： …………………………1 分
A B 10
A 25
得 …………………………2 分
B 35
T 2 2 2 又 ， …………………………3 分
T 10 5
又 t 0时在最低点，最低点高度为35 25 10米,，故H 10，代入得
10 25sin 35 sin 1,又 ,故 …………………………4 分
2 2
所以H (t) 25sin( t ) 35, 化简得：H (t) 35 25cos t, (0 t 10) ………5 分
5 2 5
(2) 由题意H (t) 47.5,代入解析式得35 25cos t 47.5 ………………………6 分
5
得 25cos t 12.5, cos 1解得 t …………………………7 分
5 5 2
x t,t 0,10 , x 0,2 cos x 1 , 2 x 4 令 则 ，由 得 ,代入x t …………8 分
5 2 3 3 5
10
解得： t 20 …………………………9 分
3 3
【高一数学参考答案 第 6 页（共 8 页）】
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20 10 10 10
解得 ，故游客的最佳视觉效果的持续时间为 分钟 …………………………10 分
3 3 3 3
2
（3）摩天轮共 36 个轿厢，相邻轿厢夹角为 ，两人间隔 5 个座舱，
36 18
圆心 (5 1) …………………………11 分
18 3

设游客甲乘坐时间（t 0 t 10)分钟后，此时其对应的圆心角为 t ，
5 3

高度为H1 35 25co（s t ） ………………………… 12 分5 3

游客乙乘坐时间（t 0 t 10)分钟后，乙的高度H2 35 25cos t ………………………13 分5
他们的高度差为 H H1 H2 25 cos(
t ) cos t …………………………14 分
5 3 5
25 2 sin( t )sin 25 sin( t ) …………………………15 分
5 6 6 5 6
sin( t ) 1, t 5 t 20因为 当 或 ，sin( t )取得最大值1 …………………………16 分
5 6 3 3 5 6
5 20
此时当当t 或t ，高度差最大值为25米 17 分
3 3 …………………………
19.解：(1)因为四边形 ABCD 为矩形，所以MC / /AD， …………………………1 分
又因为MC 平面AB D, AD 平面AB D, …………………………3 分
所以MC / /平面AB D. …………………………4 分

(2)在 △ 中，∠ = 6， = 1， = 3，则 =
3，
3
= = 2 3，在线段 上截取 = ，连接 ， ， ，3
由 // ，可得四边形 为平行四边形，
所以 // ， …………………………6 分
又 平面 ， 平面 ，则 //平面 ，因为 //平面 ，又 ∩ = ，
, 平面 ，则平面 //平面 ， …………………………8 分
因为平面 ∩平面 = ，平面 ′ ∩平面 = ，所以 // ，
又 = = 2 3， = 3，则 ′ = = 2； …………………………10 分3
【高一数学参考答案 第 7 页（共 8 页）】
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（3）连接 ，在 △ 中， = 3，

= 1，则∠ = 6，

又在 △ 中，∠ = 6， ⊥ ，则 ⊥ ，故 B、 、 三点共线，………12 分
易得 ⊥平面 ，又 平面 ，∴平面 ⊥平面 ，
则∠ 即直线 与平面 所成角， …………………………14 分
由题可知， 1在以 为圆心， = 2为半径的圆上，则当直线 ′ 与圆相切时，∠ 取得最大值，
1
此时 sin∠ = 3，tan∠ =
2， …………………………16 分
4
2
故直线 与平面 所成角的正切值取值范围为（0， ] …………………………17 分
4
【高一数学参考答案 第 8 页（共 8 页）】
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