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13.2.1 三角形的边的八大题型 一例三练（教师版）
（2026年7月）
【题型1 判断三条线段能否构成三角形】 10
【题型2 三角形的三边关系】 11
【题型3 三角形的第三条边长的取值范围】 14
【题型4 三角形的稳定性及应用】 17
【题型5 等腰三角形和等边三角形三边的确定】 19
知识点1 三角形的三边关系
三角形的三边关系
定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
和
AB+AC＞BC.
AC+BC＞AB,
AB+BC＞AC.
差
也可表示为：BC＞AB-AC,
AC＞BC-AB.
AB＞AC-BC
规律方法：判断三条线段能否构成三角形
方法1.
方法2.
判断三条线段能否组成三角形：
（1）若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
（2）若最长线段与最短线段的差小于第三条线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形
3.第三边的取值范围：△ACB的三条边长分别为：a，b，x
则x的取值范围是：︱a-b︱＜ x ＜a+b
知识点2 等腰三角形中的分类讨论
给出等腰三角形的一条边长，一定要考虑：
（1）.这条边作为腰长，和作为底边长两种情况；
（2）.求出三边之后，用三角形三边关系检查一下，看是否能构成三角形
知识点3 三角形的性质
三角形具有稳定性
【题型1 判断三条线段能否构成三角形】
【例1】下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（　　）
A．5cm，5cm，12cm B．12cm，13cm，25cm
C．9cm，15cm，6cm D．2cm，3cm，4cm
【答案】D
【分析】根据两边之和大于第三边逐项判断即可．
【解答】解：A．由5+5＝10＜12，与两边之和大于第三边矛盾，故A不符合题意；
B．由12+13＝25，与两边之和大于第三边矛盾，故B不符合题意；
C．由6+9＝15，与两边之和大于第三边矛盾，故C不符合题意；
D．由2+3＝5＞4，符合两边之和大于第三边，故D符合题意．
故选：D．
【变式1-1】若一个三角形的三边长均为偶数，其中两边长分别为4和8，则第三边长可能是（　　）
A．2 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合第三边为偶数的条件，即可选出符合要求的答案．
【解答】解：设第三边长为x．
∵一个三角形的三边长均为偶数，其中两边长分别为4和8，
∴8﹣4＜x＜8+4，即4＜x＜12．
∴符合条件的x为6，8，10．
故选：B．
【变式1-2】若一个三角形的两条边的长分别是3cm和7cm，则它的第三边的长可能是（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，求出第三边长的取值范围，再对比选项得到正确结果．
【解答】解：设第三边的长为xcm．
∵三角形的两条边长分别为3cm和7cm．
∴7﹣3＜x＜7+3．即4＜x＜10．
故选：C．
【变式1-3】若三角形的两边长分别是3，4，最长边是奇数，则该三角形的周长是　　 ．
【答案】12
【分析】设这个三角形的第三边长是x，由三角形三边关系定理得到1＜x＜7，由最长边是奇数，得到x＝5，即可求出该三角形的周长．
【解答】解：设这个三角形的第三边长是x，
由三角形三边关系定理得到：4﹣3＜x＜4+3，
∴1＜x＜7，
∵最长边是奇数，
∴x＝5，
∴该三角形的周长＝3+4+5＝12．
故答案为：12．
【题型2 三角形的三边关系的应用】
【例2】若a，b，c是△ABC的三条边长，则|c+a﹣b|﹣|c﹣a﹣b|﹣|b+2c|的化简结果为　 　
【答案】﹣3b
【分析】根据三角形的三边关系可得c+a﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0，b+2c＞0，再去绝对值，最后合并同类项即可．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三条边长，
∴c+a﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0，b+2c＞0，
∴原式＝c+a﹣b﹣[﹣（c﹣a﹣b）]﹣（b+2c）
＝c+a﹣b+c﹣a﹣b﹣b﹣2c
＝﹣3b．
【变式2-1】如图，小亮在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝20m，OB＝12m，那么AB的长可能是（　　）
A．6m B．8m C．30m D．32m
【答案】C
【分析】由三角形三边关系定理得到8＜AB＜32，即可得到答案．
【解答】解：连接AB，
由三角形三边关系定理得到：20﹣12＜AB＜20+12，
∴8＜AB＜32，
∴AB的长可能是30m．
故选：C．
【变式2-2】如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P．分别测得PA＝9m，PB＝7m，若A、B间的距离长度为偶数（单位：m），那么A、B间的最大距离是　 　 m．
【答案】14
【分析】根据三角形的三边关系可得：PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即2m＜AB＜16m，再根据A，B间的距离长度为偶数，找出A，B间可取的偶数，即可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，由三角形的三边关系可得：PA﹣PB＜AB＜PA+PB，
∵PA＝9m，PB＝7m，
∴（9﹣7）m＜AB＜（9+7）m，即2m＜AB＜16m．
∵A，B间的距离长度为偶数，
∴AB可取的数有：4m，6m，8m，10m，12m，14m，
∴其中最大的为14m，
∴A，B间的最大距离为14m．
故答案为：14．
【变式2-3】【阅读材料】
在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d．
如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题．
【问题探究】
（1）（基础应用）
如图1，在△ABC中，当点P位于边BC上时（不与B、C重合），AC+BC　 　 PA+PB．（填“＜”，“＞”，“＝”）
（2）（核心方法）
如图2，当点P位于△ABC内部时，完成证明：AB+AC＞PB+PC．
（3）（能力提升）
如图3，P、Q是△ABC内部的两点，连接BP、PQ、QC，使B、P、Q、C构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：AB+AC＞BP+PQ+QC．
【分析】（1）根据题意得AC+PC＞AP，不等式两边都加上PB即可得出结论；
（2）延长BP交AC于点E，证明AB+AE＞BP+PE，PE+EC＞PC，两式相加得AB+AE+PE+EC＞BP+PE+PC，从而可得AB+AC＞PB+PC；
（3）延长PQ交AC于点F，延长QP交AB于点E，证明AE+AF＞EP+PQ+QF，EP+EB＞BP，QF+FC＞QC，三式相加可得结论．
【解答】（1）解：根据三角形的三边关系得：AC+PC＞AP，
∴AC+PC+PB＞AP+PB，
∴AC+BC＞PA+PB，
故答案为：＞；
（2）证明：如图，延长BP交AC于点E，
在△ABE中，AB+AE＞BE，BE＝BP+PE，
∴AB+AE＞BP+PE，
根据三角形的三边关系得，PE+EC＞PC，
∴AB+AE+PE+EC＞BP+PE+PC，
∴AB+AE+EC＞BP+PC
即AB+AC＞PB+PC；
（3）证明：如图，延长PQ交AC于点F，延长QP交AB于点E，
根据三角形的三边关系得，AE+AF＞EP+PQ+QF，
EP+EB＞BP，
QF+FC＞QC，
∴AE+AF+EP+EB+QF+FC＞EP+PQ+QF+BP+QC，
∴AE+AF+EB+FC＞PQ+BP+QC，
即AB+AC＞BP+PQ+QC．
【题型3 三角形的第三条边长的取值范围】
【例3】已知△ABC的三边a，b，c满足a+b＝3c﹣4，a﹣b＝2c﹣6，且a＞b．
（1）求c的取值范围；
（2）若△ABC的周长为12，求c的值．
【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出不等式，通过解不等式求得答案；
（2）利用三角形的周长公式和已知条件求得c的值．
【解答】解：（1）由题意有，a﹣b＜c＜a+b，
∴2c﹣6＜c＜3c﹣4，
∴2＜c＜6，
又∵a＞b，
∴a﹣b＝2c﹣6＞0，
∴c＞3，而2＜c＜6，
∴c的取值范围为：3＜c＜6；
（2）∵△ABC周长为12，
∴，
∴a＝5，b＝3，c＝4．
【变式3-1】已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在三边长为3，a，7的三角形，则a的整数解有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，进而得出a的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．
【解答】解：解不等式①，可得x＜a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞5，
又∵存在以3，a，7为边的三角形，
∴4＜a＜10，
∴a的取值范围是5＜a＜10，
∴a的整数解有4个，
故选：C．
【变式3-2】已知三角形三边长分别为5，x，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个
【答案】C
【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再结合周长为奇数的条件判断x的奇偶性，统计符合条件的x的个数即可．
【解答】解：∵三角形三边长分别为5，x，8，
∴8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13，
∴三角形的周长为5+8+x＝13+x，
∵三角形周长为奇数，13是奇数，
∴x必须为偶数，
∵边长x为正整数，
∴符合条件的x为4，6，8，10，12，共5个，
∴满足条件的三角形个数为5个．
故选：C．
【变式3-3】已知△ABC的三边a，b，c满足，，且．
(1)求c的取值范围；
(2)若△ABC的周长为，求c的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出|，结合，则，故，即可作答；
（2）由△ABC的周长为，得，又因为，所以，即可作答．
【详解】（1）解：由题意有，且，，
∴，
∴
又∵
∴
故
又因为
∴
（2）解：∵△ABC周长为
∴
又∵，
∴
∴，
【题型4 三角形的稳定性及应用】
【例4】如图，空调外机安装在墙壁上时，有时会用三角形支架固定在墙壁上，这种做法蕴含的数学原理是（　　）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．三角形的稳定性 D．两点确定一条直线
【答案】C
【分析】用三角形支架把空调外机固定在墙壁上，是应用了三角形的稳定性．
【解答】解：用三角形支架把空调外机固定在墙壁上，是应用了三角形的稳定性，
∴这种方法蕴含的数学原理是：三角形的稳定性．
故选：C．
【变式4-1】下列图形中有稳定性的是（　　）
A．三角形 B．正方形
C．五边形 D．平行四边形
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、三角形具有稳定性，本选项符合题意；
B、正方形不具有稳定性，本选项不符合题意；
C、五边形不具有稳定性，本选项不符合题意；
D、平行四边形不具有稳定性，本选项不符合题意；
故选：A．
【变式4-2】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
【变式4-3】下列例子：①起重机的三角形吊臂；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条．其中，利用了三角形稳定性的是　 　 （填序号）．
【答案】　①③④　
【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性原理，判断每个例子是否应用了该特性，即可作答．
【解答】解：①起重机的三角形吊臂：采用三角形结构是利用了三角形稳定性；
②校门口的自动伸缩栅栏门：基于四边形的不稳定性实现伸缩功能，未利用三角形稳定性；
③照相机的三脚架：三条腿构成三角形，是利用了三角形稳定性；
④长方形门框的斜拉条：通过添加斜杠形成三角形，防止门框变形，是利用了三角形稳定性；
故答案为：①③④．
【题型5 等腰三角形和等边三角形三边的确定】
【例5】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？如果不能，说明理由，如果能，求出各边长；
(2)若该等腰三角形一腰长为，直接写出a的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，确定第三边的取值范围，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）分为腰、为底边两种情况讨论，结合三角形三边关系分别求解；
（2）根据三边关系，列出不等式组求解．
【详解】（1）解：当为腰时，底边长为，
，故此情况不符合；
当为底边时，腰长为，
，能构成三角形，故符合，
所以能围成一条边是的等腰三角形，其他两边长分别为，；
（2）该等腰三角形一腰长为，
底边长为，
则，
解得：．
故答案为：．
【变式5-1】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边长是的等腰三角形吗？为什么？
【答案】(1)，，
(2)能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解一元一次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设底边长为，则腰长为，则，求解即可；
（2）分已知当为底时，当为腰时，两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：设底边长为，
腰长是底边的2倍，
腰长为，
，
解得，
，
各边长为：，，．
（2）解：①当为底时，腰长；
②当为腰时，底边，
，
不能构成三角形，故舍去；
能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，．
【变式5-2】阅读两名同学对下题的解答过程．一个等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为8cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少？
李明说应这样解：设腰长为xcm，则2x+8＝28，解得x＝10，所以这个三角形另外两边的长均为10cm．
张钢说应这样解：设底边长为xcm，则2×8+x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为8cm，12cm．
试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．
【分析】李明与张钢两人的解答过程都不正确，正确解答应当分两种情况讨论：当腰长为8cm时或底边长是8cm时，根据周长为28cm，求出相应的底边或腰，并注意：要根据三角形的三边关系判断其是否能够组成三角形．
【解答】解：他们的解答过程都不正确．
理由如下：
根据题意可知有两种情况：
①当腰长为8cm，周长为28cm时，
底边长为28﹣8﹣8＝12（cm）．
∵8cm，8cm，12cm能够组成三角形，
∴其它两边为8cm和12cm．
②当底边为8cm，周长为28cm时，
腰长为10（cm）．
∵10cm，10cm，8cm能够组成三角形，
∴其它两边为10cm和10cm．
综上可知其它两边为8cm，12cm或10cm，10cm．
【变式5-3】一个三角形的两边b＝3，c＝4．
（1）当各边均为整数时，可以组成　 　 个不同的三角形．
（2）若此三角形是等腰三角形，求其周长．
一个三角形的两边b＝3，c＝4．
【答案】（1）当各边均为整数时，可以组成　5　 个不同的三角形．
（2）见解答．
【分析】（1）根据三角形三边关系得出第三边长的范围，进而解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）设第三边长为a，则1＜a＜7，
由于三角形的各边均为整数，则a＝2或3或4或5或6，因此有五个三角形，
故答案为：5；
（2）①当b为腰时，a＝3＝3.3+3＞4，此时三角形的周长为3+3+4＝10；
②当c为腰时，a＝4＝c.3+4＞4能构成三角形，此时三角形的周长为4+4+3＝11；
所以当此三角形是等腰三角形时，其周长是10或11．
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13.2.1 三角形的边的八大题型 一例三练（学生版）
（2026年7月）
【题型1 判断三条线段能否构成三角形】 3
【题型2 三角形的三边关系】 3
【题型3 三角形的第三条边长的取值范围】 5
【题型4 三角形的稳定性及应用】 5
【题型5 等腰三角形和等边三角形三边的确定】 6
知识点1 三角形的三边关系
三角形的三边关系
定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
和
AB+AC＞BC.
AC+BC＞AB,
AB+BC＞AC.
差
也可表示为：BC＞AB-AC,
AC＞BC-AB.
AB＞AC-BC
规律方法：判断三条线段能否构成三角形
方法1.
方法2.
判断三条线段能否组成三角形：
（1）若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
（2）若最长线段与最短线段的差小于第三条线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形
3.第三边的取值范围：△ACB的三条边长分别为：a，b，x
则x的取值范围是：︱a-b︱＜ x ＜a+b
知识点2 等腰三角形中的分类讨论
给出等腰三角形的一条边长，一定要考虑：
（1）.这条边作为腰长，和作为底边长两种情况；
（2）.求出三边之后，用三角形三边关系检查一下，看是否能构成三角形
知识点3 三角形的性质
三角形具有稳定性
【题型1 判断三条线段能否构成三角形】
【例1】下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（　　）
A．5cm，5cm，12cm B．12cm，13cm，25cm
C．9cm，15cm，6cm D．2cm，3cm，4cm
【变式1-1】若一个三角形的三边长均为偶数，其中两边长分别为4和8，则第三边长可能是（　　）
A．2 B．6 C．9 D．12
【变式1-2】若一个三角形的两条边的长分别是3cm和7cm，则它的第三边的长可能是（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm
【变式1-3】14．若三角形的两边长分别是3，4，最长边是奇数，则该三角形的周长是　 　 ．
【题型2 三角形的三边关系】
【例2】若a，b，c是△ABC的三条边长，则|c+a﹣b|﹣|c﹣a﹣b|﹣|b+2c|的化简结果为　 　
【变式2-1】如图，小亮在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝20m，OB＝12m，那么AB的长可能是（　　）
A．6m B．8m C．30m D．32m
【变式2-2】如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P．分别测得PA＝9m，PB＝7m，若A、B间的距离长度为偶数（单位：m），那么A、B间的最大距离是　 　 m．
【变式2-3】【阅读材料】
在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d．
如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题．
【问题探究】
（1）（基础应用）
如图1，在△ABC中，当点P位于边BC上时（不与B、C重合），AC+BC　 　 PA+PB．（填“＜”，“＞”，“＝”）
（2）（核心方法）
如图2，当点P位于△ABC内部时，完成证明：AB+AC＞PB+PC．
（3）（能力提升）
如图3，P、Q是△ABC内部的两点，连接BP、PQ、QC，使B、P、Q、C构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：AB+AC＞BP+PQ+QC．
【题型3 三角形的第三条边长的取值范围】
【例3】已知△ABC的三边a，b，c满足a+b＝3c﹣4，a﹣b＝2c﹣6，且a＞b．
（1）求c的取值范围；
（2）若△ABC的周长为12，求c的值．
【变式3-1】已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在三边长为3，a，7的三角形，则a的整数解有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3-2】已知三角形三边长分别为5，x，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个
【变式3-3】已知△ABC的三边a，b，c满足，，且．
(1)求c的取值范围；
(2)若△ABC的周长为，求c的值．
【题型4 三角形的稳定性及应用】
【例4】如图，空调外机安装在墙壁上时，有时会用三角形支架固定在墙壁上，这种做法蕴含的数学原理是（　　）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．三角形的稳定性 D．两点确定一条直线
【变式4-1】下列图形中有稳定性的是（　　）
A．三角形 B．正方形
C．五边形 D．平行四边形
【变式4-2】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
【变式4-3】下列例子：①起重机的三角形吊臂；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条．其中，利用了三角形稳定性的是　 　 （填序号）．
【题型5 等腰三角形和等边三角形三边的确定】
【例5】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？如果不能，说明理由，如果能，求出各边长；
(2)若该等腰三角形一腰长为，直接写出a的取值范围是______．
【变式5-1】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边长是的等腰三角形吗？为什么？
【变式5-2】阅读两名同学对下题的解答过程．一个等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为8cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少？
李明说应这样解：设腰长为xcm，则2x+8＝28，解得x＝10，所以这个三角形另外两边的长均为10cm．
张钢说应这样解：设底边长为xcm，则2×8+x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为8cm，12cm．
试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．
【变式5-3】一个三角形的两边b＝3，c＝4．
（1）当各边均为整数时，可以组成　 　 个不同的三角形．
（2）若此三角形是等腰三角形，求其周长
13.2.1 三角形的边的八大题型 一例三练（学生版）
（2026年7月）
【题型1 判断三条线段能否构成三角形】 10
【题型2 三角形的三边关系】 11
【题型3 三角形的第三条边长的取值范围】 14
【题型4 三角形的稳定性及应用】 17
【题型5 等腰三角形和等边三角形三边的确定】 19
知识点1 三角形的三边关系
三角形的三边关系
定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
和
AB+AC＞BC.
AC+BC＞AB,
AB+BC＞AC.
差
也可表示为：BC＞AB-AC,
AC＞BC-AB.
AB＞AC-BC
规律方法：判断三条线段能否构成三角形
方法1.
方法2.
判断三条线段能否组成三角形：
（1）若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
（2）若最长线段与最短线段的差小于第三条线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形
3.第三边的取值范围：△ACB的三条边长分别为：a，b，x
则x的取值范围是：︱a-b︱＜ x ＜a+b
知识点2 等腰三角形中的分类讨论
给出等腰三角形的一条边长，一定要考虑：
（1）.这条边作为腰长，和作为底边长两种情况；
（2）.求出三边之后，用三角形三边关系检查一下，看是否能构成三角形
知识点3 三角形的性质
三角形具有稳定性
【题型1 判断三条线段能否构成三角形】
【例1】下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（　　）
A．5cm，5cm，12cm B．12cm，13cm，25cm
C．9cm，15cm，6cm D．2cm，3cm，4cm
【答案】D
【分析】根据两边之和大于第三边逐项判断即可．
【解答】解：A．由5+5＝10＜12，与两边之和大于第三边矛盾，故A不符合题意；
B．由12+13＝25，与两边之和大于第三边矛盾，故B不符合题意；
C．由6+9＝15，与两边之和大于第三边矛盾，故C不符合题意；
D．由2+3＝5＞4，符合两边之和大于第三边，故D符合题意．
故选：D．
【变式1-1】若一个三角形的三边长均为偶数，其中两边长分别为4和8，则第三边长可能是（　　）
A．2 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合第三边为偶数的条件，即可选出符合要求的答案．
【解答】解：设第三边长为x．
∵一个三角形的三边长均为偶数，其中两边长分别为4和8，
∴8﹣4＜x＜8+4，即4＜x＜12．
∴符合条件的x为6，8，10．
故选：B．
【变式1-2】若一个三角形的两条边的长分别是3cm和7cm，则它的第三边的长可能是（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，求出第三边长的取值范围，再对比选项得到正确结果．
【解答】解：设第三边的长为xcm．
∵三角形的两条边长分别为3cm和7cm．
∴7﹣3＜x＜7+3．即4＜x＜10．
故选：C．
【变式1-3】若三角形的两边长分别是3，4，最长边是奇数，则该三角形的周长是　　 ．
【答案】12
【分析】设这个三角形的第三边长是x，由三角形三边关系定理得到1＜x＜7，由最长边是奇数，得到x＝5，即可求出该三角形的周长．
【解答】解：设这个三角形的第三边长是x，
由三角形三边关系定理得到：4﹣3＜x＜4+3，
∴1＜x＜7，
∵最长边是奇数，
∴x＝5，
∴该三角形的周长＝3+4+5＝12．
故答案为：12．
【题型2 三角形的三边关系的应用】
【例2】若a，b，c是△ABC的三条边长，则|c+a﹣b|﹣|c﹣a﹣b|﹣|b+2c|的化简结果为　 　
【答案】﹣3b
【分析】根据三角形的三边关系可得c+a﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0，b+2c＞0，再去绝对值，最后合并同类项即可．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三条边长，
∴c+a﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0，b+2c＞0，
∴原式＝c+a﹣b﹣[﹣（c﹣a﹣b）]﹣（b+2c）
＝c+a﹣b+c﹣a﹣b﹣b﹣2c
＝﹣3b．
【变式2-1】如图，小亮在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝20m，OB＝12m，那么AB的长可能是（　　）
A．6m B．8m C．30m D．32m
【答案】C
【分析】由三角形三边关系定理得到8＜AB＜32，即可得到答案．
【解答】解：连接AB，
由三角形三边关系定理得到：20﹣12＜AB＜20+12，
∴8＜AB＜32，
∴AB的长可能是30m．
故选：C．
【变式2-2】如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P．分别测得PA＝9m，PB＝7m，若A、B间的距离长度为偶数（单位：m），那么A、B间的最大距离是　 　 m．
【答案】14
【分析】根据三角形的三边关系可得：PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即2m＜AB＜16m，再根据A，B间的距离长度为偶数，找出A，B间可取的偶数，即可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，由三角形的三边关系可得：PA﹣PB＜AB＜PA+PB，
∵PA＝9m，PB＝7m，
∴（9﹣7）m＜AB＜（9+7）m，即2m＜AB＜16m．
∵A，B间的距离长度为偶数，
∴AB可取的数有：4m，6m，8m，10m，12m，14m，
∴其中最大的为14m，
∴A，B间的最大距离为14m．
故答案为：14．
【变式2-3】【阅读材料】
在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d．
如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题．
【问题探究】
（1）（基础应用）
如图1，在△ABC中，当点P位于边BC上时（不与B、C重合），AC+BC　 　 PA+PB．（填“＜”，“＞”，“＝”）
（2）（核心方法）
如图2，当点P位于△ABC内部时，完成证明：AB+AC＞PB+PC．
（3）（能力提升）
如图3，P、Q是△ABC内部的两点，连接BP、PQ、QC，使B、P、Q、C构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：AB+AC＞BP+PQ+QC．
【分析】（1）根据题意得AC+PC＞AP，不等式两边都加上PB即可得出结论；
（2）延长BP交AC于点E，证明AB+AE＞BP+PE，PE+EC＞PC，两式相加得AB+AE+PE+EC＞BP+PE+PC，从而可得AB+AC＞PB+PC；
（3）延长PQ交AC于点F，延长QP交AB于点E，证明AE+AF＞EP+PQ+QF，EP+EB＞BP，QF+FC＞QC，三式相加可得结论．
【解答】（1）解：根据三角形的三边关系得：AC+PC＞AP，
∴AC+PC+PB＞AP+PB，
∴AC+BC＞PA+PB，
故答案为：＞；
（2）证明：如图，延长BP交AC于点E，
在△ABE中，AB+AE＞BE，BE＝BP+PE，
∴AB+AE＞BP+PE，
根据三角形的三边关系得，PE+EC＞PC，
∴AB+AE+PE+EC＞BP+PE+PC，
∴AB+AE+EC＞BP+PC
即AB+AC＞PB+PC；
（3）证明：如图，延长PQ交AC于点F，延长QP交AB于点E，
根据三角形的三边关系得，AE+AF＞EP+PQ+QF，
EP+EB＞BP，
QF+FC＞QC，
∴AE+AF+EP+EB+QF+FC＞EP+PQ+QF+BP+QC，
∴AE+AF+EB+FC＞PQ+BP+QC，
即AB+AC＞BP+PQ+QC．
【题型3 三角形的第三条边长的取值范围】
【例3】已知△ABC的三边a，b，c满足a+b＝3c﹣4，a﹣b＝2c﹣6，且a＞b．
（1）求c的取值范围；
（2）若△ABC的周长为12，求c的值．
【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出不等式，通过解不等式求得答案；
（2）利用三角形的周长公式和已知条件求得c的值．
【解答】解：（1）由题意有，a﹣b＜c＜a+b，
∴2c﹣6＜c＜3c﹣4，
∴2＜c＜6，
又∵a＞b，
∴a﹣b＝2c﹣6＞0，
∴c＞3，而2＜c＜6，
∴c的取值范围为：3＜c＜6；
（2）∵△ABC周长为12，
∴，
∴a＝5，b＝3，c＝4．
【变式3-1】已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在三边长为3，a，7的三角形，则a的整数解有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，进而得出a的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．
【解答】解：解不等式①，可得x＜a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞5，
又∵存在以3，a，7为边的三角形，
∴4＜a＜10，
∴a的取值范围是5＜a＜10，
∴a的整数解有4个，
故选：C．
【变式3-2】已知三角形三边长分别为5，x，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个
【答案】C
【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再结合周长为奇数的条件判断x的奇偶性，统计符合条件的x的个数即可．
【解答】解：∵三角形三边长分别为5，x，8，
∴8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13，
∴三角形的周长为5+8+x＝13+x，
∵三角形周长为奇数，13是奇数，
∴x必须为偶数，
∵边长x为正整数，
∴符合条件的x为4，6，8，10，12，共5个，
∴满足条件的三角形个数为5个．
故选：C．
【变式3-3】已知△ABC的三边a，b，c满足，，且．
(1)求c的取值范围；
(2)若△ABC的周长为，求c的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出|，结合，则，故，即可作答；
（2）由△ABC的周长为，得，又因为，所以，即可作答．
【详解】（1）解：由题意有，且，，
∴，
∴
又∵
∴
故
又因为
∴
（2）解：∵△ABC周长为
∴
又∵，
∴
∴，
【题型4 三角形的稳定性及应用】
【例4】如图，空调外机安装在墙壁上时，有时会用三角形支架固定在墙壁上，这种做法蕴含的数学原理是（　　）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．三角形的稳定性 D．两点确定一条直线
【答案】C
【分析】用三角形支架把空调外机固定在墙壁上，是应用了三角形的稳定性．
【解答】解：用三角形支架把空调外机固定在墙壁上，是应用了三角形的稳定性，
∴这种方法蕴含的数学原理是：三角形的稳定性．
故选：C．
【变式4-1】下列图形中有稳定性的是（　　）
A．三角形 B．正方形
C．五边形 D．平行四边形
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、三角形具有稳定性，本选项符合题意；
B、正方形不具有稳定性，本选项不符合题意；
C、五边形不具有稳定性，本选项不符合题意；
D、平行四边形不具有稳定性，本选项不符合题意；
故选：A．
【变式4-2】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
【变式4-3】下列例子：①起重机的三角形吊臂；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条．其中，利用了三角形稳定性的是　 　 （填序号）．
【答案】　①③④　
【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性原理，判断每个例子是否应用了该特性，即可作答．
【解答】解：①起重机的三角形吊臂：采用三角形结构是利用了三角形稳定性；
②校门口的自动伸缩栅栏门：基于四边形的不稳定性实现伸缩功能，未利用三角形稳定性；
③照相机的三脚架：三条腿构成三角形，是利用了三角形稳定性；
④长方形门框的斜拉条：通过添加斜杠形成三角形，防止门框变形，是利用了三角形稳定性；
故答案为：①③④．
【题型5 等腰三角形和等边三角形三边的确定】
【例5】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？如果不能，说明理由，如果能，求出各边长；
(2)若该等腰三角形一腰长为，直接写出a的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，确定第三边的取值范围，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）分为腰、为底边两种情况讨论，结合三角形三边关系分别求解；
（2）根据三边关系，列出不等式组求解．
【详解】（1）解：当为腰时，底边长为，
，故此情况不符合；
当为底边时，腰长为，
，能构成三角形，故符合，
所以能围成一条边是的等腰三角形，其他两边长分别为，；
（2）该等腰三角形一腰长为，
底边长为，
则，
解得：．
故答案为：．
【变式5-1】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边长是的等腰三角形吗？为什么？
【答案】(1)，，
(2)能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解一元一次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设底边长为，则腰长为，则，求解即可；
（2）分已知当为底时，当为腰时，两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：设底边长为，
腰长是底边的2倍，
腰长为，
，
解得，
，
各边长为：，，．
（2）解：①当为底时，腰长；
②当为腰时，底边，
，
不能构成三角形，故舍去；
能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，．
【变式5-2】阅读两名同学对下题的解答过程．一个等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为8cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少？
李明说应这样解：设腰长为xcm，则2x+8＝28，解得x＝10，所以这个三角形另外两边的长均为10cm．
张钢说应这样解：设底边长为xcm，则2×8+x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为8cm，12cm．
试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．
【分析】李明与张钢两人的解答过程都不正确，正确解答应当分两种情况讨论：当腰长为8cm时或底边长是8cm时，根据周长为28cm，求出相应的底边或腰，并注意：要根据三角形的三边关系判断其是否能够组成三角形．
【解答】解：他们的解答过程都不正确．
理由如下：
根据题意可知有两种情况：
①当腰长为8cm，周长为28cm时，
底边长为28﹣8﹣8＝12（cm）．
∵8cm，8cm，12cm能够组成三角形，
∴其它两边为8cm和12cm．
②当底边为8cm，周长为28cm时，
腰长为10（cm）．
∵10cm，10cm，8cm能够组成三角形，
∴其它两边为10cm和10cm．
综上可知其它两边为8cm，12cm或10cm，10cm．
【变式5-3】一个三角形的两边b＝3，c＝4．
（1）当各边均为整数时，可以组成　 　 个不同的三角形．
（2）若此三角形是等腰三角形，求其周长．
一个三角形的两边b＝3，c＝4．
【答案】（1）当各边均为整数时，可以组成　5　 个不同的三角形．
（2）见解答．
【分析】（1）根据三角形三边关系得出第三边长的范围，进而解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）设第三边长为a，则1＜a＜7，
由于三角形的各边均为整数，则a＝2或3或4或5或6，因此有五个三角形，
故答案为：5；
（2）①当b为腰时，a＝3＝3.3+3＞4，此时三角形的周长为3+3+4＝10；
②当c为腰时，a＝4＝c.3+4＞4能构成三角形，此时三角形的周长为4+4+3＝11；
所以当此三角形是等腰三角形时，其周长是10或11．
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