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山东泰安市岱岳区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学练习题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是（）
A. 两个直角三角形相似 B. 两个等腰三角形相似
C. 两个等腰直角三角形相似 D. 有一个角是的两个等腰三角形相似
4.如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ）
A. B. C. D.
5.下列运算中，正确的是（）
A. B. C. D.
6.在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，，则的长为（ ）
A. 6 B. 7 C. 14 D. 16
8.如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在边长为2的菱形中，，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．则的长为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，以 为邻边在坐标系内作矩形 ， ， ，把矩形 绕点O逆时针旋转，当点A旋转到 边上的 处时，则求点C的对应点 的坐标（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12.图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面
13.大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比.如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC=20cm,则AB的长为 cm.（结果保留根号）
14.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的“赵爽弦图”，若图2中小正方形的面积为4，勾，则图1中菱形的周长为 ．
15.如图，△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算题：
(1) ；
(2) ．
17.(本小题10分)
解方程：
(1) ；
(2) （用配方法解方程）．
18.(本小题10分)
已知关于的方程．
(1) 求证：无论取何值时，方程总有实数根；
(2) 若该方程两个根的平方和为25，求的值．
19.(本小题10分)
如图，矩形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交于点，求的长．
20.(本小题12分)
智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个．
(1) 求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率；
(2) 该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？
21.(本小题12分)
为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米．
(1) 求路灯的高度；
(2) 小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米；
(3) 小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度．
22.(本小题12分)
如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，分别交，于点，，连接．
(1) 求证：；
(2) 求证：四边形是菱形；
(3) 若，，求的长．
23.(本小题14分)
数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对图形旋转过程中的相似进行了深入研究．
(1) 【问题发现】如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形，则 ；
(2) 【拓展探究】如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由．
(3) 【解决问题】如图3，中，，点在线段上运动，以为直角边构造且，连接，点为线段的中点，连接．
①求的度数，并说明理由；
②在点的运动过程中，求线段的最小值．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】（10-10）
14.【答案】40
15.【答案】2.4或
16.【答案】【小题1】
解：原式
．
【小题2】
解：原式
．

17.【答案】【小题1】
解：，
，
或，
；
【小题2】
解：，
，
，
，
，
．

18.【答案】【小题1】
证明：对于方程，
其中，
，
，
恒成立，
无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根
【小题2】
解：由（1）知，利用求根公式：
解得：；

19.【答案】解：矩形中，，
，
，
由作图过程知平分，则，
，
，又，
在和中，
，
，
，则，
，
，
，即，
，
在中，

20.【答案】【小题1】
解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得
解得：
即或
（不合题意，舍去）
答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为．
【小题2】
解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得：
解得，，
要尽可能让顾客得到实惠，
该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元．

21.【答案】【小题1】
解：由题意知：米，米，
（米），
，
，
即，
解得：（米），
答：路灯的高度是米；
【小题2】
解：由题意知，米，米，米，
，
，
，
即，
解得：（米），
（米），
答：当走到处时，他行走的路程是米；
【小题3】
解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点，
则四边形是矩形，四边形是矩形，
设米，
则米，米，米，
米，米，
，
，
，
即，
解得：，
答：此时小明在墙上的影子有1米高．

22.【答案】【小题1】
证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小题2】
证明：在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是菱形．
【小题3】
解：在菱形中，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴长为．

23.【答案】【小题1】
【小题2】
证明：仍然成立．理由如下：
，
，
，
，
将图1中的矩形绕点逆时针旋转，
，
，
，
，
，
【小题3】
①的度数是，理由如下：
在中，，
，
．
又，
．
，
，
，
即，
，
．
，
，
；
②点为线段的中点
在中，，
，
点在线段上运动时，时，线段长度最小，如图，
此时，在中，
线段的最小值为；

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