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山东省济宁市曲阜市2025-2026学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知正比例函数的图像过点，则的值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
2.下列运算结果正确的是（）
A. B. C. D.
3.已知△ABC的三条边分别为a,b,c,下列条件中，哪个不能够判断△ABC是直角三角形（　　）
A. ∠A=∠B+∠C B. c2-a2=b2
C. a：b：c=3：4：5 D. a2：b2：c2=5：12：13
4.下列各图象中，不能表示是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加全区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差.若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数 90 94 94 93
方差 1.6 0.8 1.5 1.2
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6.如图，一次函数（）的图象经过点P，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7.小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　）
A. 小明家和学校距离1200米 B. 小华乘公共汽车的速度是240米/分
C. 小华乘坐公共汽车后7：51与小明相遇 D. 小明从家到学校的平均速度为60米/分
8.如图，坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若是整数，则正整数n的最小值是 ．
12.图1是颐和园十七孔桥东的廓如亭，俗称八方亭，它是颐和园乃至全国园林中最大的亭子，始建于清乾隆年间．图2是其地基示意图，为正八边形，则它的一个外角的度数为 ．
13.如图，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1，y2（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中y2=-4x+150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25，则在第 秒时1号和2号无人机在同一高度.
14.如图，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户（四边形），工人师傅准备连接窗户各边中点、、、来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为1.5米，边的长为2米，那么四边形的周长为 米．
15.如图，正方形、按照如图所示的方式放置，点、、、和点、、、分别在直线和轴上，已知，，，则的纵坐标是 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1) ；
(2) ．
17.(本小题8分)
物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮 ．一端拴在滑块 上，另一端拴在物体 上，滑块 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 的左右滑动来调节物体 的升降．实验初始状态如图1所示，物体 静止在直轨道上，物体 到滑块 的水平距离是 ，物体 到定滑轮 的垂直距离是 ．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1) 求绳子的总长度；
(2) 如图2所示，若物体 升高 至 处，求滑块 向左滑动到 处的距离．
18.(本小题9分)
某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间(单位:)，随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题:

(1) 本次接受调查的初中学生人数为 ，图1中的值为 ；
(2) 求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；
(3) 根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据,若该校共有1200名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数．
19.(本小题9分)
如图，已知直线：经过点、，且平行于直线：．
(1) 求直线的表达式：
(2) 如果直线经过点，与轴的正半轴相交于点，已知的面积为6，求直线的表达式．
20.(本小题9分)
如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 若，求四边形的面积．
21.(本小题9分)
人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买、两种型号的机器人模型共50个，型号、型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买型号机器人模型个，购买这两种型号机器人模型共花费元．
(1) 求与之间的函数关系式；
(2) 若购买型号机器人模型的数量不超过型号机器人模型数量的，问购买型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？
22.(本小题11分)
在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究．
【发现】在数轴上，表示一个点，则表示这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，表示一条直线，则表示直线及其右侧所有点组成的平面区域．
(1) 【探究】直线如图1所示，它表示为以方程的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点在直线上，是方程的一个解；点在直线上方，是不等式的一个解，从而发现结论：不等式可以表示为直线及其 （填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其 （填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域．
(2) 【应用】图2阴影部分（含边界）是 （填写不等式组）表示的平面区域；
(3) 已知不等式组，
①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G，并求出该阴影部分的面积．
②请直接写出与区域G有交点时b的取值范围．
23.(本小题12分)
问题情境：
在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．操作探究：
(1) 如图1，若点落在边上，则四边形的形状是 ；
(2) 若点落在矩形内部．
①如图2，过点作，垂足为，交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由；
②如图3，为边的三等分点，且点在点的左侧．连接并延长，交边于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3) 如图4，，，若，请直接写出的长．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】3
12.【答案】
13.【答案】15
14.【答案】5
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：原式；
【小题2】
解：原式.

17.【答案】【小题1】
解：由题意得，物体 到定滑轮 的垂直距离为 ，即 ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
绳子总长度为： ，
答：绳子的总长度为 ；
【小题2】
解：设物体 升高 后到达点 ，滑块 滑动到点 ，则 ，
，
∵绳子总长度不变，
，
在Rt△AB'C'" data-ext-data="{"source": "saber_editor"}" width="72" height="19" style="width:72px;height:19px;" alt="" title="" /> 中，由勾股定理得：B'C'=AB'2 AC'2=202 122=256=16(dm)" data-ext-data="{"source": "saber_editor"}" width="349" height="24" style="width:349px;height:24px;" alt="" title="" /> ，
滑块 向左滑动的距离为：B'C' BC=16 5=11dm" data-ext-data="{"source": "saber_editor"}" width="182" height="18" style="width:182px;height:18px;" alt="" title="" /> ，
答：滑块 向左滑动的距离为 ．

18.【答案】【小题1】
40
25
【小题2】
平均数==1.5
由条形统计图得，4个0.9，8个1.2，15个1.5，10个1.8，3个2.1，
∴1.5出现的次数最多，15次，
∴众数是1.5，
第20个数和第21个数都是1.5，
∴中位数是1.5；
【小题3】
1200×＝1080（人），
答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有1080人．

19.【答案】【小题1】
解：，
，
将代入得，
，
则；
【小题2】
解：设直线的表达式，则由题意可知，，
将代入得，
，
即，
，
，
解得或（舍）
则，
将，代入得，
，解得，
则直线的表达式．

20.【答案】【小题1】
证明：是的中点，
，
四边形是平行四边形．
，
．
，
．
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形．
【小题2】
解：四边形是矩形，
．
是等边三角形，即，
在中，．
设，则，
，即，
解得，即，
．

21.【答案】【小题1】
解：学校购买A型号机器人模型个，则购买B型号机器人模型个．
根据题意，总花费，
化简得，
即与之间的函数关系式为；
【小题2】
解：根据题意，得，
解得．
在函数中，，
因此随的增大而增大，
所以当时，取得最小值，
代入得（元）．
答：购买A型号机器人模型30个时花费最少，最少费用是16800元．

22.【答案】【小题1】
上方
下方
【小题2】
【小题3】
解：①不等式组，
在平面直角坐标系中，画出和的图象，如图，
由图得，即为不等式组的解集所在的区域G，
区域G的面积，
解，得，
∴，
∴区域G的面积；
②由图可知，当过点时，b取最小值，；
当过点时，b取最大值，
将代入得，，
解得．
∴与区域G有交点时b的取值范围为．

23.【答案】【小题1】
正方形
【小题2】
解：①四边形为菱形．
理由如下：
根据折叠可知：，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
②．
理由如下：
，为边的三等分点，
．
根据折叠可知：，，
，
，
，
，
．
矩形中，，，
四边形为平行四边形，
，
，
．
【小题3】
解：四边形为矩形，，，
，， ．
根据折叠可知：，，．
过点作，如图所示：
．
，
四边形为矩形，
，，，
．
，
，
，
即，
，
，
．
设，则，
根据勾股定理得，即，
解得，即．

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