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浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.4.2 二次函数与一元二次方程②（解析版）
知识点1 图象法解不等式
y>0时，图象在x轴上方，对应的x范围即不等式的解集；y<0时，图象在x轴下方，对应的x范围即不等式的解集。解题关键：先求交点，再结合开口方向确定范围。
知识点2 二次函数与一次函数的交点
求两函数图象交点：联立方程，消去y得一元二次方程，解方程得交点横坐标，代入任一解析式得纵坐标。交点个数由判别式Δ决定。
知识点3 图象位置关系求参数范围
图象在x轴上方→Δ<0且a>0；与x轴有公共点→Δ≥0；与x轴只有一个交点→Δ=0。结合图象位置列不等式或不等式组求参数。
知识点4 交点横坐标与方程解的关系
两函数图象交点的横坐标就是联立后方程的解。抛物线与x轴交点的横坐标=ax +bx+c=0的根。抛物线与直线交点的横坐标=ax +bx+c=kx+b的根。
考点1 图象法解不等式
【解题思路】先求抛物线与x轴交点，再根据开口方向确定y>0（x轴上方）或y<0（x轴下方）对应的x范围。
例1．抛物线与x轴交于，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解本题的关键．
由抛物线与x轴交点知方程根为和，且抛物线开口向上，故不等式解集为两根之间．
【详解】抛物线与x轴交于，，
方程的根为．
又，
抛物线开口向上．
当时，，即．
故不等式解集为，
故选C．
变式1．如图是二次函数的图象，观察图象，当时，的取值范围为（ ）．
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，熟练运用二次函数的对称性是解题关键．
由图象可知，这条抛物线的对称轴是直线，其与x轴的一个交点为．根据对称性求出另一个交点，再结合图象判断x的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为．由函数的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为．
当时，图象为两个交点中间的一段，因此的取值范围为．
故选：A．
变式2．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________．
【答案】或
【详解】解：根据图示，抛物线的图象开口向上，经过，对称轴直线为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴当或时，，
故答案为：或 ．
考点2 与一次函数的交点
【解题思路】联立两个函数解析式→消去y得一元二次方程→解方程求交点横坐标→代入求纵坐标。
例2．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解．
【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，
方程的解是，
故选：B．
变式1．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．
根据抛物线和直线的交点坐标横坐标即为方程的解即可求解．
【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得，
方程的解为，
故答案为：．
变式2．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标．
【答案】
【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组即可．
【详解】解：联立方程组，
解得，
∴二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为．
考点3 图象位置求参数范围
【解题思路】在x轴上方：Δ<0且a>0；与x轴有公共点：Δ≥0；只有一个公共点：Δ=0。列不等式求解。
例3．已知二次函数的图象在x轴上方，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题主要考查函数图象与x轴交点的特点，掌握相关知识是解题的关键．根据二次函数的图象在x轴上方，得出函数图象与x轴无交点且抛物线开口向上，即可得出方程的判别式，，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象在x轴上方，
∴抛物线的开口向上，抛物线与x轴无交点，
∴，
解得：，
故选：A．
变式1．将抛物线向下平移m个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是___________．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
先根据平移的规律写出抛物线向下平移m个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与轴有公共点可得，由此列不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：将抛物线向下平移m个单位长度得，
∵与轴有公共点，
∴，
即，
解得：，
故答案为：．
变式2．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解．
直接根据函数图象作答即可．
【详解】解：由图可知，当时，与有交点，
所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．
故答案为：．
考点4 交点横坐标与方程解
【解题思路】交点的横坐标就是联立后方程的解。图象法：交点横坐标→读出方程的解。数形结合。
例4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则关于x的方程的解是______．
【答案】，
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一次函数和二次函数的交点坐标满足两函数解析式，
由于抛物线与直线交点坐标满足两个解析式，所以当和时，，从而得到关于x的方程的解．
【详解】解：抛物线与直线交于，两点，
当和时，，
关于x的方程的解是，
故答案为：，
变式1．如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了函数图象与方程的关系，理解方程的解为对应函数图象交点的横坐标是解题的关键．
根据方程的解就是两个函数交点的横坐标求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程的解为一次函数与二次函数的图象交点的横坐标，
∴方程的解为：．
故答案为：．
变式2．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当时，写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式；
（2）先求出抛物线与轴交点的横坐标，再由图象求解即可．
【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称，
∴点B的坐标为，
代入，得：，
解得，
∴二次函数的表达式为
（2）解：由，
解得：，
∵
∴
一、选择题
1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．图象在x轴上截得的线段长度为4
B．顶点坐标是
C．图象与y轴交点的坐标是
D．开口向上
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标，根据解析式可得开口方向和顶点坐标，即可判断B、D；求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可判断A、C．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，故B、D说法错误；
在中，当时，则，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，
∴图象在x轴上截得的线段长度为，故A说法正确；
在中，当时，，
∴图象与y轴交点的坐标是，故C说法错误；
故选：A．
2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象与轴有两个交点
C．随的增大而增大 D．顶点坐标是
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、顶点坐标、与轴交点及增减性．
【详解】解：∵是二次函数的顶点形式，其中，
∴ 图象开口向上，选项A正确，不符合题意；
令，得，即，
解得或，
∴ 图象与轴有两个交点，选项B正确，不符合题意；
顶点坐标为，选项D正确，不符合题意；
∵ ，对称轴为，
∴ 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
∴ 选项C错误，符合题意；
故选：C．
二、填空题
3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）抛物线与轴的交点到坐标系原点的距离称为该抛物线在轴上的“截距”．若抛物线为，则其在轴上的“截距”为______．
【答案】5
【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据抛物线“截距”的定义，需先求抛物线与轴的交点坐标，再计算该点到原点的距离即可．
【详解】解：令，代入抛物线解析式，得，
故抛物线与y轴的交点为，
因此，该点到原点(0,0)的距离为，
故答案为：5．
4．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式求值．
将交点坐标代入抛物线方程，得到关于的方程，进而求出代数式的值．
【详解】解：抛物线 与轴的一个交点为，
，
即，
．
故答案为：．
5．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解____________．
【答案】
【分析】本题考查了根据二次函数的图像确定相应方程的根，二次函数图像上点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称是解题关键.
根据二次函数图像上点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称，可得答案.
【详解】解：二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，
关于的一元二次方程的一个解.
∵与关于对称，
,
即，
∴.
故答案为：.
三、解答题
6．（26-27九年级·浙江·暑假作业）已知二次函数
(1)当时，y的值是多少？
(2)当x为何值时，y的值为0？
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：当时，；
（2）解：当时， ，
解得．
故当或时，y的值为0．
7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数．
(1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，b，的值；
(2)求该函数图像与轴的交点坐标．
【答案】(1)，，，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与轴的交点坐标．
（1）通过完全平方公式展开将二次函数化为一般形式，即可求解；
（2）代入即可求函数图像与轴的交点坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，，；
（2）解：令，
∵，
∴该函数图像与轴的交点坐标为．
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1.4.2 二次函数与一元二次方程②（原卷版）
知识点1 图象法解不等式
__________时，图象在x轴__________，对应的x范围即不等式的__________；__________时，图象在x轴__________，对应的x范围即不等式的解集。解题关键：__________，再结合__________确定范围。
知识点2 二次函数与一次函数的交点
求两函数图象交点：__________，消去y得__________，解方程得交点__________，代入任一解析式得__________。交点个数由__________决定。
知识点3 图象位置关系求参数范围
图象在x轴__________→__________；与x轴__________→__________；与x轴__________→__________。结合图象位置列不等式或不等式组求参数。
知识点4 交点横坐标与方程解的关系
两函数图象交点的__________就是联立后__________。抛物线与x轴交点的横坐标=__________。抛物线与直线交点的横坐标=__________。
考点1 图象法解不等式
【解题思路】先求抛物线与x轴交点，再根据开口方向确定y>0（x轴上方）或y<0（x轴下方）对应的x范围。
例1．抛物线与x轴交于，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
变式1．如图是二次函数的图象，观察图象，当时，的取值范围为（ ）．
A． B．或 C． D．或
变式2．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________．
考点2 与一次函数的交点
【解题思路】联立两个函数解析式→消去y得一元二次方程→解方程求交点横坐标→代入求纵坐标。
例2．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________．
变式2．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标．
考点3 图象位置求参数范围
【解题思路】在x轴上方：Δ<0且a>0；与x轴有公共点：Δ≥0；只有一个公共点：Δ=0。列不等式求解。
例3．已知二次函数的图象在x轴上方，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
变式1．将抛物线向下平移m个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是___________．
变式2．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____．
考点4 交点横坐标与方程解
【解题思路】交点的横坐标就是联立后方程的解。图象法：交点横坐标→读出方程的解。数形结合。
例4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则关于x的方程的解是______．
变式1．如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为___________．
变式2．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当时，写出x的取值范围．
一、选择题
1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．图象在x轴上截得的线段长度为4
B．顶点坐标是
C．图象与y轴交点的坐标是
D．开口向上
2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象与轴有两个交点
C．随的增大而增大 D．顶点坐标是
二、填空题
3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）抛物线与轴的交点到坐标系原点的距离称为该抛物线在轴上的“截距”．若抛物线为，则其在轴上的“截距”为______．
4．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．
5．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解____________．
三、解答题
6．（26-27九年级·浙江·暑假作业）已知二次函数
(1)当时，y的值是多少？
(2)当x为何值时，y的值为0？
7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数．
(1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，b，的值；
(2)求该函数图像与轴的交点坐标．
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